Dziawgo; Działania na macierzach, podstawpwe typy macierzy 4

56 Działania na macierzach, podstawowe typy macierzy

6.5 Uzasadnij na podstawie definicji, że następujące macierze są inwolutywiir

1 73		3 4'
2 2	, b)	5 5	, c)	3 2a/2
a/3 1		4 3		1 (N 1
_ 2 2 _		_ 5 5.

6.6 Uzasadnij na podstawie definicji, że następujące macierze są ortogonalne.

			'S	0	Vó
o	V2 "		3		3
2 0 1 £ 0 o	2 0 9	, b)	£	V8	a/6
			3 £	T >/8	”ó” V6
z^1	jL		3	T	6

6.7    Uzasadnij, dlaczego na ogół:

(A + B)² 5Ł A² + 2AB + B².

Zakładamy, że macierze A i B są kwadratowe tego samego stopnia.

6.8    Niech A i B będą macierzami kwadratowymi stopnia n. Oznaczmy pr/c/ C = ot A + |3B, D = yA + 5B . Zakładamy, że a5^py. Wykazać, ><> CD = DQ <=> AB = BA.

6.9 I)la jakiej wartości parametru x spełniona jest zależność:

'12    3    ...    n    ‘

-4 -8    -12    ...    -4n

3 6    9    ...    3n

12    3    ...    n

J4xn

[o

2    3

XXX

= [oo... o]

lxn

6.10 Udowodnij, że macierze C i D są równe jeśli:

a)    C = A(A^t +B)^t-(b^t)^T D = A(B + 1),

gdzie macierz A jest idempotentna, a macierz B ortogonalna,

b)    C = (B• A^t • B^t)^tBA    D = BA,

gdzie macierz A jest idempotentna, a macierz B ortogonalna,

c)    C = B^T(BA¹⁰ + B²A⁹+...+B'°A)A

D = A +- B + B²A + B³ + B⁴A+...+B⁷ + B¹A + B’ gdzie macierz A jest inwolutywna, a macierz B ortogonalna.

»' • • i il. i zbiór punktów P(xi,x₂) spełnia równanie:

X

i\^T r

x-

) V

= [4] gdzie X

L^x2j

liii Uowodnij, że jeśli A,B są macierzami kwadratowymi stopnia n, to 11 (A1 i)=tr(BA) gdzie tr(A)=a 11 +a₂₂+...+a_nn .

IM 1v wykonalne są następujące działania. Jaki wymiar będzie miała imicicrz X.

ul \ (ABC¹)², b) X=(B+4D^r)A, c) X=AB+2BA, d) X=AB(B^t+D), '^/V}_x2,B_2x4,C_3x4,D_4x2 • iii '.Hiii jest macierz idempotentna:

A

(Sprawdź !)

¹ 'blic/ macierz B = 2 A - I i wykaż, że jest ona inwolutywna.

u I

H iii

I i<i|^,.ólriij poprzednie zadanie tzn. pokaż, że dla dowolnej macierzy idem-l'"ii ufnej A macierz B = 2A — I jest inwolutywna.

/ułóżmy, że macierze A i B są kwadratowe stopnia n. Odpowiedz na pyta

li 1 7y jeśli macierze A i B są inwolutywne, to ich iloczyn AB jest też macierzą inwolutywną,

I-1 ( 7y jeśli macierze A i B są symetryczne, to ich iloczyn AB jest też ma-• n-r/ii symetryczną,

liki dodatkowy warunek musi być spełniony by zachodziły powyższe

|!l ifWH

| i M 1 1 imlnij, że

• 1 1- li macierz A jest ortogonalna i symetryczna, to jest inwolutywna, i¹1 i< li macierz A jest inwolutywna i symetryczna, to jest ortogonalna. H Mil mii. ,.| macierze: ¹

1 r		"-1	2	0"		"-2	1	-f
2 -1	B =	0	1	1	C =	1	-1	0
^1 2_		1	-3	-2		2	1	1

n    E    F    G

^3x3 ^ij2x3    ¹3x5    ^VJ5x2 •

A C + A

1

'lilii uiacici/ V, daną wzorem: Z — k

1.1 n I iii-ii, pi/.y czym m i 11 oziiaczaj;| odpowiednio liczbę wierszy

r -i'    • 1T¹

1 III III, kollllllll Uiacici Z,y X |l)l^; I -1 I' ( i |