Dziawgo; Wyznacznik i rząd macierzy 2

60 Wyznacznik i rząd macierzy

Wyznaczniki trzeciego stopnia liczymy wed^g schematu Sarrusa¹

3	2	3
2	3	-2	= 3 • 3 • 3 + 2 • (-2) • 1 + 3 • 2 - (-	0-	Licząc wyznaczniki należy pamiętać, że
1	-1	3			wyznacznik możemy policzyć tylko z ma

- 3 • 3 • 1 - 3 • (-2) •(-])-2 .2• 3 = -10    ^cierW kwadratowej.

3	2 3		3	2	3
-3	-2 0	= 15,	-3	-2	0
1	-1 3		2	3	-2

b)

3 2 i	0	3
-3 -2 !	CD	0
^2 3 i	2	-2
1 -1 i	1	3
3 2	0	! 3
3 -2	1	o
8 7	0	-2
4 1	0	3
	3	2 j
	8	7 I
	4	<D!

W! := w, w, := w-

^w3 := w₃ -2-w₂ w, := w„ -w,

Wj := w, -2-w₃ w 2 := w ₂ — 7 • vv_;-w₃ := w,

= -l

	-5	0 -3
IV	-20	! 0 I -23
	4	r i...... J i! ^3

\3+2	-5	-3
)	-20	-23

= 1 - (l 15 — 60) = 55

Obliczanie wyznaczników wprosi z rozwinięcia Laplace'a jest dość pracochłonne. Gdyby jednak wektor, według którego stosujemy rozwinie cie miał oprócz jednego elementu same zera, policzenie wyznaczniku byłoby łatwiejsze.

Z własności wyznacznika wic my, że wartość wyznacznika nie zmieni się jeżeli dowolny wiersz po mnożymy przez liczbę i dodamy do innego wiersza. Za pomocą tej wio sności (operacji elementarnychI utworzymy wektor bazowy w Iw lumnie trzeciej. Operacje opisom są obok wyznacznika, a wykonuje /< się w ten sposób, że do odpowictl niego elementu jednego wiersza do daje się lub odejmuje odpowiedni element innego wiersza pomnażam przez skalar. Do tak przygotowane go wyznacznilca stosujemy rozwinie cie Laplace’a względem kolumny J,

Rozwinięcie Laplace’a możenn zastosować także, do policzenia iri znacznika z macierzy 3x3.

Odp. det(A) = 55.

i

Pad /. 1111

/.udanie 2.

«<•/wii|/ać równanie wyznacznikowe:

1	1	1	1
1	1 — X	1	1
1	1	2 - x	1
1	1	1	3-

Ho/wiązanie:

1 1 1 X 1	1 1	w,:	^= W]	Najpierw musimy policzyć wyznacznik. W tym celu postępujemy podobnie
		w2	1 £ 1 <N £ II	jak w zadaniu poprzednim b).
1 2-x 1 1	1	w3	= w3 - W,	Tworzymy wektor bazowy, a następnie stosujemy rozwinięcie Laplace ’a
	3- x	W4	= w4 - w,	(względem tego wektora bazowego).
^1 i ^1____^1	1
<> ! x 0 i	0
n ! o i — x	0
0 ! 0 0	2-x

		-X	0	0
i (	i)'^+‘	0 0	1 — X	0	= —x(l - x)(2 - x)	Obliczoną wartość przyrównujemy do zera i obliczamy
			0	2 - x		pierwiastki wielomianu.
-ii	x)(2	-*)	II o 0	x=0vx=lvx=2

|M|«    ,\ O lub x=l lub x=2.

/ udanie 3.

/ *• 11* . r i /i|d macierzy:

2	1	0	3	-2
1	2	r	-3	0
0	2	i	3	1
3	3	i	0	-2