2801842200

3. MACIERZE I WYZNACZNIKI MATEMATYKA

3.5 Obliczanie wartości wyznacznika dowolnego stopnia

Na wstępie wprowadzimy kilka nowych pojęć, któro sę podstawowe w rachunku macierzowym.

Definicja 3.8 Minorem (podwyznacznikiem) danej macierzy (danego wyznacznika) nazywamy każdy wyznacznik określony tablicą kwadratową powstałą z danej macierzy (wyznacznika) przez skreślenie pewnej liczby wierszy i kolumn.

Definicja 3.9 Minorem odpowiadającym elementowi a_ik macierzy kwadratowej A lub danego wyznacznika |A| nazywamy wyznacznik, który powstaje z elementów pozostałych po skreśleniu i —tego wiersza i k—tej kolumny. Oznaczamy go symbolem A/,-*.

a n	ai2 • • •	aik		Ol„
«21	0.22	a-2k	• • •	02«
| ^ail	0ł2 • • •	aik		«tn |
Oni	0ti2 * * *	a-nk	■ " " Onn

on	Ol2	ai*-i	OlA + 1	Oin
021	022	02A-1	02A + 1	02n
Ot-1,1	0<—1,2 ^1 •	• Ot-lfc-l	Ot_lJb+l • '	' " O-j—i.n
Ot+1.1	Ot+1,2 ^1 •	• Oi+lJk-l	Ot+lJb+1 ^1 '	' " Ot+l.n
Oni	Ofi2 * •	• OnJfc-1	On Js+1	Onn

(94)

(95)

Minor (95) jest stopnia n — 1.

Definicja 3.10 Dopełnieniem algebraicznym A_ik elementu a_ik. nazywamy liczbę równą iloczynowi rninora Mj_k- odpowiadającego ternu elementowi i wyrażenia (—\)^l+k:

Aik = (—l)'^+fc Mik    (96)

Definicja 3.11 Macierz zbudowaną z dopełnień algebraicznych A_ik. elementów a_ik. macierzy A = [a,*] stopnia n. tj. macierz

dA = [Aik]    (97)

nazywamy macierzą dopełnień algebraicznych macierzy A.

Twierdzenie 3.1 W danym wyznaczniku sumy iloczynów elementów dowolnego wiersza (lub dowolnej kolumny) i ich dopełnień algebraicznych mają tą sarną stałą wartość równą wartości wyznacznika

n

det A = anAii + OaA_G + ... + amA_in = a_ik-A_ik. = const (i = 1,2,..., n) (98)

A = 1

Powyższe twierdzenie ma dużo znaczenie praktyczne. Sprawdzimy jo dla n = 2 i n = 3.

42