MATEMATYKA190

370 Vn Macierze. Wyznaczniki, ł/'kłady równań Urnowych

d) Obliczamy rząd mac\crz>' A:

Ponieważ układ ten jest układem jednorodnym, więc R(B) ■ 3 , Zatem R(A)*R(B)*r-3. n- 3 i r*-n . Z twierdzenia Kroneckera - Capcllicgo wynika, źc dany układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, a ponieważ jest to układ jednorodny rozwiązaniem tym jest rozwiązanie zerowe: X * y = z «= 0 .    ■

PRZYKŁAD 2.4 Rozwiążemy układ równań:

1,

0,

-1.

2;

2x + y-2z-u = I.

0)

— i.

x + 2y-z-2u =    2;

Jest to układ 4 równań o 4 niew iadomych Ponieważ

2 1-2-1 1 0 -I 0 _n I -1 -1 1 ⁼⁰ 1 2-12

więc obliczyć należy' rzędy macierzy A i B Łatwo otrzymujemy, że R(A) = R(B)= r = 2 .

Z twierdzenia Kroneckera - Capcllicgo wynika, że układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań i są one zależne od dwóch parametrów.

Spośród równań układu (ł) wybieramy dwa równania - np drugie i trzecie - z niewiadomymi x i y, a pozostałe niewiadome traktujemy jako parametry: z » zq. u = u₀. Otrzymujemy w ten sposób układ pomocniczy

(2)

Układ ten ma jedno rozwiązanie: x*ZQ,y *1 + u₀. Zatem rozwiązaniem układu (1) jest każda czwórka liczb: x = /<>. y = 1 + u₀, z » zq , u = u₀, gdzie z₀, u₀ są dowolny mi liczbami rzeczywistymi.

PRZYKŁAD 2.5 Zbadamy liczby rozwiązań następującego układu równań w zależności od parametru a .

ax-2y + z ■ -3, x-ay + 2z »    1.

2x-ay + /. ■ 2.

Obliczamy wyznacznik główny tego układu:

W

a² +u-6

a -2 1 ł -a 2 2 -a 1

Jeżeli W =a² +a-6*0, czyli a*2 i u*-3, to układ ma, zgodnie z twierdzeniem Cramera, dokładnie jedno rozw iązanie.

Dla a = 2 otrzymujemy układ postaci

2x-2y + z -	-3,
x - 2y + 2z =	1,
2x-2y + z =	2.

który nic ma rozwiązania - jest sprzeczny (wystarczy porównać pierwsze i trzecie równanie) Dla a = -3 mamy

'    f-3x-2v + z = -3.

\ x + 3 y + 2/. = L I 2x + 3y + z =    2.

Łatwo obliczyć, że dla tego układu R(A) = R(B) = 2. Zatem układ ma nieskończenie wiele rozwiązań i są one zależne od jednego parametru

Podsumujmy: rozważany układ równań ma jedno rozwiązanie, gdy a * 2 i a *■ -3; jest sprzeczny, gdy a - 2 oraz ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy a = -3.    ■

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA.

I. Rozwiązać układ równań:

(3x — 2y = 0. a) |x-y + 2z =    1.

(y + /.    ■    -t

3x + y + u » 0, y - z - u “ 0, 2x+z+u * 0, 2y - z- 2u = I;

b)

x - y - z X I 2/. 4 II x + y + u 2v-z- u

c)

d)

x-y-z x + 2z - u x + y + u 2y - z - u

= -3.

*    -I. = -3. - 0;

*    0. o.

» 0,

* 0;