MATEMATYKA136

b) Obliczymy wartość średnią funkcji f(x) = [x] na przedziale < l,3>, (rys 2.7). Uwzględniając definicję funkcji [x] (największa liczba całkowita mniejsza lub równa x), mamy:

f(x) =

1    dla l£x<2,

2    dla 2 ś x < 3,

3    dla x = 3.

Rys 2.7

Stąd, na podstawie addytywności i własności (6) całki oznaczonej, otrzymujemy:

y = jf(x)dx = j 1dx + j 2dx) =

W przekładzie a) wartość średnia funkcji jest wartością tej funkcji w pewnym punkcie przedziału. y = f(l), (punkt len znajdujemy z

równania f(x) = y. czyli l/x*’ = 1). Mówi się wtedy, te funkcja osiąga swoją wartość średnią. Zauważmy, że funkcja fcjest w tym przypadku funkcją ciągłą Natomiast w przykładzie b) wartość średnia y = 3/2 danej

funkcji nie jest wartością tej funkcji w rozważanym przedziale (równanie f(x) = 3/2 jest sprzeczne). W tym przykładzie rozważana funkcja mc jest ciągła Następne twierdzenie dostarcza warunku wystarczającego na to, aby funkcja osiągała swoją wartość średnią

TWIERDZENIE 2.5 Jeżeli f jest funkcją ciągłą na przedziale < a, b >, to wewnątrz lego przedziału istnieje punkt x₀ taki, te

(2.6)

~^jf(x)dx = f(xo), czyli y=f(x₀), Xo€(a,b)

a

W interpretacji geometrycznej oznacza to, że jeśli y jest wartością średnią ciągłej funkcji f na przedziale <a,b >, to prosta y = y przecina wy kres tej funkcji co najmniej w jednym punkcie o odciętej z przedziału (a,b), (por. rys 2.5).

Dowód. Dowód wynika z równości

b

Jf(x)dx=<D(b)-<I>(a)

a

(w której O oznacza funkcję pierwotną funkcji 0 ' ^z twierdzenia Lagrange'a zastosowanego do jej prawej strony: <J>(b) - <l>(a) =

D

= (b-a)<D'(x₀) = (b-a)f(x₀), gdzie x₀e(a,b) ZADANIA DO ROZWIĄZANIA

1. Obliczyć.

o

a) Jsin-*dx, b) |(l-2x)⁷dx, c) J