47631 img006 (65)

Pm(') rząd A

algebraiczny wielomian potęgowy stopnia m rząd macierzy A

S„()

S_rh()

S„A)

■V„ ( )

T

{Xk, X_k 11, ‘'¹, Xk+m) (x_ux₂, ■■■,X„)^T (Xj)_Je N

*<*>. *<*)

X, z

Xi

X*

p()

II

X

INI IM II II-lic

(v)

-    wielomian trygonometryczny zawierający pierwszycn z«+i składników

-    funkcjonał aproksymujący funkcjonał /(■) w metodzie parabol (Simpsona) całkowania numerycznego

-    funkcjonał aproksymujący funkcjonał /(•) w metodzie prostokątów całkowania numerycznego

-    funkcjonał aproksymujący funkcjonał /(•) w metodzie trapezów całkowania numerycznego

-    operacja transpozycji macierzy (wektora)

-    ciąg uporządkowany liczb (elementów) x_k, x_k+,, ■ ■ x_k+m

-    wektor {x\, x₂, ■ ■ x„) transponowany

-    ciąg x₀, Xi, ■■■, Xj, ■■■, j e N, wektorów (punktów przestrzeni wielowymiarowej)

-    punkt x (wektor x) otrzymany w kroku k iteracji

-    wektor niewiadomych; wektorowa zmienna niezależna

-    współrzędna (składowa) o numerze i wektora x

-    wektor rozwiązania; punkt krytyczny funkcji rzeczywistej zmiennej niezależnej x

-    błąd bezwzględny, z jakim znana jest wartość funkcji /(•) dlax = x₀

-    funkcja określająca metrykę p przestrzeni

-    symbol operacji iloczynu

-    operacja iloczynu kartezjańskiego

-    norma w przestrzeni elementów

-    norma wektora x

-    norma macierzy A

-    norma Czebyszewa - norma jednostajna

-    iloczyn skalarny

1. BŁĘDY W OBLICZENIACH

ogoł nieznaną) wartością liczbową x a jej wartością przybliżoną x otrzymaną jako wynik rozwiązania pewnego zadania obliczeniowego,

S = x — x.    (1.1)

W celu określenia dokładności obliczeń określa się zwykle graniczny (tzn. maksymalny) błąd bezwzględny

S_M =max(|x-x|),    (1.2)

wyrażany w jednostkach wielkości obliczanej, lub graniczny błąd względny

^SM

= max

/	*	\
	x - X
V	X	J

(1.3)

wyrażany w postaci ułamka lub procentu wartości obliczanej wielkości.

Rozważa się trzy główne przyczyny powstawania niedokładności w trakcie realizacji obliczeń w maszynach cyfrowych: błędy w danych wejściowych, błędy obcięcia i błędy zaokrągleń.

Błędy w danych wejściowych powodowane są przez skończoną długość słowa stosowanego w maszynie cyfrowej (skończoną dyskretną reprezentację liczb stosowaną w obliczeniach komputerowych) i związaną z tym w konsekwencji niemożliwością przedstawienia wartości rzeczywistej w postaci dokładnego zapisu liczbowego dla dalszych obliczeń. Przez odpowiednią rozbudowę algorytmu numerycznego (wydłużanie reprezentacji liczby w maszynie cyfrowej) można błąd w danych wejściowych uczynić dowolnie małym. Odbywa się to jednak kosztem zmniejszenia efektywności obliczeń, np. kosztem wydłużenia czasu obliczeń.

Ważną czynnością w trakcie tworzenia algorytmu obliczeń jest przypisywanie danym wejściowym dla obliczeń odpowiedniego typu zmiennych, dostępnych w danym języku programowania (tzw. deklarowanie typów zmiennych). Przykładowo, Visual Basic dla programu Excel (tablica 1.1) umożliwia przypisanie danym wejściowym 12 typów zmiennych, przy czym niektóre z nich, jak np. zmienne logiczne czy łańcuchy znaków, są z definicji dokładne.

Z zasady działania komputera (w tym również kalkulatora) wynika, że zapis każdej liczby stanowiącej daną wejściową dla obliczeń musi zostać przekształcony z zapisu w systemie dziesiętnym (o podstawie p = 10) do zapisu np. w postaci binarnej (p = 2). Liczby są zapamiętywane w rejestrach komputera w postaci stałopozycyjnej (stałoprzecinkowej) lub zmiennopozycyjnej (zmiennoprzecinkowej).

Reprezentacja stałopozycyjna danej liczby S ma postać:

⁵ = ^scn^c„-\ ■ ■■c_lc₀.c__lc_₂ ■    ,

c,; e{O,•••,/?-!}, se{+,-},    (1.4)