Dziawgo; Wyznacznik i rząd macierzy 3

62 Wyznacznik i rząd macierzy

Rozwiązanie:

I sposób:

Korzystamy z twierdzenia, że jeśli wektory { vj, v₂ j są liniowo niezależne, to wektory jvj, v₂ + av, j oraz wektory {vj ,{3v₂} , gdzie p ^ 0 są także liniowo niezależne. Operacje wykonane na wektorach vj,v₂ noszą nazwę operacji elementarnych.

= r

0 -3	-2	9	-2
1 2	1	-3	0
0 2	©	3	1
0 -3	-2	9	-2

w₄: = w ₄ +2-w₃

w,:	= w,	-2*w2
w2:	- ^w 2
^w3:	= ^W3
w4:	II	“ 3* w2
w	i' = ^w	+ 2-w

^W2^:“ ^W2 - W₃ ^W3^;- ^W3

rz(A) = r(A) =

2	1	0	3	-2
©	2	i	-3	0
0	2	1	3	1
3	3	1	0	—2_

Rząd macierzy to maksymalna ilość liniowo niezależnych wektorów wierszowych lub kolumnowych macierzy A.

Za pomocą operacji elemen tarnych utworzymy różne wek tory bazowe w kolumnach.

Zaczniemy np. od kolumny pierwszej. Proces tworzenia wektora bazowego jest tala sam jak w wypadku obliczania wyznacznika.

0		0	15	0"
1	0	0	-6	-1
0	2	1	3	1
0	1	0	15	0_
0	1	0	15	0
1	0	0	-6	-1
0	0	1	-27	1
0	0	0	0	0
1	0	o !	-6	-1
0	1	o 1	15	0
0	0	1 j	-27	1
0	0	o !	0	0

w,:= w w₂:= w

1

2

w₃:= w₃ -2-W, w₄:= w₄ - w, w,:=*w₂ w₂:= ^w, ₌

^W3 ■ ~ ^W3

_ w₄: = w ₄

Mamy już jeden wektor bazowy. Tc raz utworzymy drugi wektor bazowy Musimy pamiętać, że wektor ten musi być inny niż pierwszy. Tak, więc jego element różny od zera nie może znaj dować się w wierszu drugim (jeżeli by się znajdował w wierszu drugim, ta uzyskany wektor byłby taki sam jak pierwszy).

Podobnie znajdujemy trzeci wektor bazowy.

Następny wektor bazowy, różny od poprzednich, musiałby mk< w czwartym wierszu element różny od zera. Ponieważ czwarty wiersz jest zerowy, nie znajdziemy więcej ról nych wektorów bazowych.

Odp. r(A> 3.

'•Ip i(A) 3.

/.mianie 4.

A .ilr/ności od parametru X, znaleźć rząd macierzy:

				1 X	-1	2
		A	L =	2 -1	X	5
				1 10	-6	1
o/wiązanie:
KOI x	-1 2"	w,:	= W,
2 j 1	X 5	w2^:	= w2-2w		~
1 i 10	-6 1	w3:	i 1 ll
X	-1 i	2 f	w,	:= w,	2w2
1 2X	X + 2 i	O	w,	: w2		~
\i)-X	-5 i	-i i	w,	: w, l	W 2

\

II posób:

'10-2		2	1	-2	3
13 10	= 0,	1	2	0	-3
II 3 1 1		0	2	1	3
111-2		3	3	-2	0

i 2 0	3		-2	1	0	3
1 0 1	-3	-0,	0	2	1	-3
II 1 1	3		1	2	1	3
l 2 1	0		-2	3	1	0

Z odpowiedniego twierdzenia wiemy, że rząd macierzy, to stopień największego niezerowego minom.

Obliczamy minory. Wygodnie jest zacząć od minorów najwyższego (4) stopnia.

Okazało się, że wszystkie minory czwartego stopnia są równe zero.

Liczymy zatem minory trzeciego stopnia. Wskazany minor jest różny od zera, zatem rząd macierzy jest równy trzy.

Za pomocą operacji elementarnych tworzymy różne wektory bazowe w kolumnach.

Wygodnie jest utworzyć wektory bazowe w kolumnach, w których nie ma parametru X (nie wymaga to dodatkowych założeń o X).