12086 wyznaczniki,macierze (5)

30 Momenty algebry liniowej

Zadanie 10 (§ 3, zad. 5c)

Korzystając z twierdzenia Kroneckera-Capelli zbadać istnienie rozwiązań układu równań. W przypadku rozwiązalności znaleźć wszystkie rozwiązania

| X₁-x₂+ x₃ = 0 [2x, +x₂ -2x₃ = —1

V

Tworzymy macierz współczynników A i macierz rozszerzoną A

A =

1

2

-1

1

-1 1 0 1 -2 -1

Wyznaczamy rząd macierzy A. Korzystając z definicji rzędu macierzy otrzymujemy

rz A = 2,

ponieważ największy ze stopni nieosobliwych minorów macierzy A jest równy 2,

np.

Wyznaczamy rząd macierzy A .

Ponieważ wymiar macierzy A wynosi

(m,n) = (2,4)

oraz

rzA < rzA < min (m, n),

więc

rzA = 2.

Zatem

rzA = rzA = 2.

Na mocy twierdzenia Kroneckera-Capelli układ równań jest niesprzeczny. Ponieważ rzA = 2, zaś liczba niewiadomych n = 3, więc układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru (n-rzA = 3-2 = 1).

Znajdziemy te rozwiązania.

Przyjmujemy jedną ze zmiennych jako parametr. Ponieważ przy wyznaczaniu rzędu macierzy A wyznaczyliśmy nieosobliwy minor złożony ze współczynników przy zmiennych x, i x₂, którego stopień jest równy rzA, tzn. 2, więc wartość

mierniej \, może być przyjęta w sposób dowolny, zmienną tę można przyjąć jako parametr.

x₃ = t, tG R .

Wolur tego rozważany układ równań jest równoważny układowi

tG R.

x, - x₂ =-t

I 2x, + x₂ = -1 + 2t

Macierz współczynników przy niewiadomych jest nieosobliwa (W = 3), więc ul huI równań jest układem Cramera.

i Hiliczamy wyznaczniki

-t

— 1 + 2t 1

1    -t

2    — l + 2t /i wzorów Cramera otrzymujemy

W_x =

^x i

W_x =

^X2

—t — l + 2t — — 1 + t,

-1 + 2t + 2t = -1 + 4t .

W_X1 -1 + t W_x? -l + 4t

x, =-- =-, x, =-*- =-

W 3    ² W 3

< i itiitecznie rozważany w zadaniu układ równań ma nieskończenie wiele lozwiązań zależnych od jednego parametru:

x,=^(-l + t), x₂=i(-l + 4t), x₃=t, tg R .

Otl/i. x| — ~(— 1 +1), x₂ =i(-l + 4t), x₃=t, te R.

/ udanie 11 (§ 3, zad. 6a)

W zależności od wartości parametru keR zbadać rozwiązalność układu równań

2x, +3x₂ =4 ■ kx, +(2k-2)x₂ =8 .

(k + 2)x, +9x₂ = 3k

W przypadku rozwiązalności znaleźć wszystkie rozwiązania.

V

Skorzystamy z twierdzenia Kroneckera-Capelli.

I worzymy macierze