wykład 12 2010

u-t    Układy równań liniowych

4.3 Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego

• Definicja 4.3.1 (minor macierzy)

Minorem stopnia k £ N macierzy nazywamy wyznacznik utworzony z elementów macierzy sto jących na przecięciu dowolnie wybranych k kolumn i k wierszy.

Uwaga. Macierz o m wierszach i n kolumnach ma ( ™ J minorów stopnia k, gdzie 1 < k < min(m,n).

• Przykład 4.3.2

Niżej, w macierzy wymiaru 3x4, zaznaczono ramkami elementy tworzące przykładowe minory stopnia 2 i 3:

Rząd macierzy. Twierdz

• Definicja 4.3.8 (macier.

Macierz nazywamy schoc kolejnych niezerowych wi cych numerach. Przyjmu dowolna macierz zerowa,

Uwaga. Do sprowadzani; się operacje elementarne algorytmu Gaussa).

• Przykład 4.3.9

Wszystkie podane niżej i

%

1 3
1 e	)

m

o

[U

4

0

a a a a

O Ćwiczenie 4.3.3

3 4    [6]	12.^ • M^1 = 0^6		0 0	0 0 0 6 1 7	>
5 0J	I « V		0	0 0 0
					-

0 0 i

a)

0 1 -1 3 2    1

, ¹ = 2;

b)

12 3 4 10 7 5 2 4 6 8

k=3. ,vi;

1 2 O 2 ^c/

'I 'b s

Definicja 4.3.4 frząd macierzy)

Rzędem macierzy nazywamy największy stopień jej niezerowego minora. Przyjmujemy, że rząd dowolnej macierzy zerowej jest równy 0. Rząd macierzy A oznaczamy przez rz (A) lub rank (A).    ! -j 2- ^

o

O Ćwiczenie 4.3.5

Korzystając z definicji znaleźć rzędy podanych macierzy:

^a)

1 2 0 3 6 5

b)

2 4 6 -12 3 1 2 3

^c)

10 0 0 0 10 0 10 2 2

Fakt 4.3.6 (własności rzędu macierzy)

1.    Rząd macierzy nieosobliwej jest równy jej stopniowi.

2.    rz (,4^r) = rz(A).

2

i <1 -1 2

1 1 '-0

• Twierdzenie 4.3.10 (o r

Rząd macierzy schodków schodków').

O Ćwiczenie 4.3.11

Sprowadzając podane nu

2    5    1

3    0-6

-14    6

1 2 0

a)

O Ćwiczenie 4.3.12

Zbadać rzędy podanych i

a) A =

1    p-12

2-1 p 5 1 10 -6 1

• Twierdzenie 4.3.7 (operacje elementarne nie zmieniające rzędu macierzy)

Rząd macierzy macierzy nie ulega zmienie, gdy:

1.    przestawimy dwa wiersze (dwie kolumny);

2.    wiersze (kolumny) pomnożymy przez liczby różne od 0;

3.    do jednego wiersza (kolumny) dodamy inne wiersze (kolumny) pomnożone przez dowolne liczby.

Twierdzenie 4.3.13 (Krt Układ równań liniowych macierzy A jest równy rz

'Leopold Kronecker (18 * Alfredo Gapci li (1855-1

r(A)=3

(p » ^ 0

1

   ¹ tr- /!    1 /