42 43 (16)

Układy równań liniowych

Piąty tydzień

Rząd macierzy (2.1).

Przykłady

• Przykład 5.1

Znaleźć z definicji rzędy podanych macierzy wskazując r.iezerowe minory maksymalnych stopni

					' 1	0	1	0	3
“5	1	2	3'		0	0	0	0	0
1	4	-1	2	; h)	2	0	1	0	1
9	-2	5	4		0	0	0	0	0
					3	0	1	0	-1

Rozwiązanie

Rzędem macierzy nazywamy największy stopień niezerowego mir.oia tej macierzy, czyli wyznacznika obliczonego z wybranych wierszy i kolumn tej macierzy.

a) Dana macierz ma wymiar 3x4, a więc jej rząd może być równy 0,1,2 lub 3. Wartości 0 i 1 można od razu wykluczyć, gdyż łatwo wskazać niezerowy miner stopnia 2, np.

j j =19^0 leżący w lewym górnym rogu macierzy Należy teraz poszukać

niezerowego rninora stopnia 3. Obliczamy wszystkie możliwe minory stopnia 3. Mamy

5 1 2		5 1 3		5 2 3		1 2 3
1 4 -1 9-2 5	= 0,	1 4 2 9-2 4	= 0.	1 -1 2 9 5 4	= 0,	4-12 -2 5 4

Stąd wynika, że mc istnieje niezerowy minor stopnia 3, więc rząd danej macierzy jest równy 2

b) Wszystkie minory danej macierzy zawierające parzyste wiersze lub parzyste kolumny są zerami. Minorem najwyższego stopnia nie zawierającym tych wierszy ani kolumn jest

Piąty tydzień - przykłady

minor

1 1	3
2 1	1
3 1	-1

= —1 ^ 0. Rząd danej macierzy jest więc równy 2.

$Ląd wynika, żc rząd danej macierzy jesl mniejszy od 3. Wśród minorów stopnia 2 istnieje 1 1

2 1

minor niezerowy, np

• Przykład 5.2

Wykonując operacjo elementarne na wierszach lub kolumnach podanych macierzy obliczyć ich rzędy:

	[1	3	0'		2	3	1	5	6	^71
	4	5	7	; b)	8	7	0	5	4	3
a)	1	-1	4		12	13	14	15	16	17
	2	4	2		18	17	16	15	14	13

Rozwiązanie

Wykorzystamy twierdzenie mówiące, że bez zmiany rzędu macierzy można w mej zamieniać wiersze (kolumny), mnożyć ustaJony wiersz (kolumnę) przez stałą różną od zera oraz do ustalonego wiersza (kolumny) dodać inny wiersz (kolumnę) pomnożony przez stalą. Ponadto rząd macierzy nie ulegnie zmianie, jeśli skreślimy w niej wiersz (kolumnę) złożoną 2 samych zer lub też jeden z dwóch wierszy (kolumn) równych lub proporcjonalnych. Również transporowanic macierzy nie wpływa na jej rząd. Badaną macierz będziemy więc przekształcać bez zmiany jej rzędu do postaci, z której ten rząd można łatwo odczytać, np 2 postaci trójkątnej lub blokowej, z dużą liczbą zer oraz jak najmniejszego wymiaru, a) W tym przypadku zastosujemy fragment algorytmu Gaussa otrzymując:

p	3 0"	«Ł^12 — 4 Ł#	' 1 3 0'
1 4	5 7	V3 - W] - rz	0-7 7
I ■^1	-1 A	«/4 - 2i#j	0-4 4
U	4 2		.0 -2 2

*3 =	ł-2		1	3	0
a 4 =			0	-7	n l

Zauważmy, że wynik uzyskaliśmy szybciej doprowadzając pierwszy wiersz do postaci _V1 00) przez wykonanie operacji 1Ć2 — 3Jbi.

b) Wykorzystamy prawidłowość w ułożeniu elementów macierzy. Łatwo zauważyć, że wiersze macierzy złożone są z kolejnych liczb naturalnych, przy czym w wierszach nieparzystych tworzą one ciągi rosnące, a w parzystych malejące Dlatego też sumy sąsiednich wierszy są ciągami stałymi. Dzięki temu można szybko obliczyć, że

	' 2	3	1	5	6	7 "	w/| 4 ti>3		’ 2	3	4	5	6	7
rz	3	7	5	5	4	3	wj 4 wj	rz	10	10	10	10	10	10
	12	13	14	15	16	17	wj 4 t>i		20	20	20	20	20	20
	. ^18	17	16	15	14	13 .			. 30	30	30	30	30	30

2	3	4	5	6 7
10	10	10	10	10 10

1

Przykład 5.3

Sprowadzając podane macierze do postaci schodkowej wyznaczyć ich rzędy: