4537

Układy równań liniowych

Dziewiąty tydzień

Podstawowe określenia (4.1). Układy Oraniem (4.2). Metoda elimi> nacji Gaussa dla układów Oraniem (4.3).

Przykłady

• Przykład 9.1

*4 układami Cranręra:

Dla jakich wartości parametru p podane układy równań

. / 6p*x - 3y = 3p

M ** 7'

{x + 3y + 3z = pz 3x + y + 3z = py ? 3x + 3y + z = pz

Rozwiązanie

Liniowy układ równań postaci AX = B jcnt układem Cramera, jeżeli macierz /ł |,. układu jest macierzą kwadratową o wyznaczniku różnym od zera. a) W zapisie macierzowym rozważany układ ma postać

Wyznacznik macierzy tego układu jest równy

del żl s

6p^J -3

2 -1

= 6(l-p^J).

Dany układ jest zatem układem Cramera dla p    — 1 oraz p 1.

b) Zapisując rozważany układ macierzowe mamy

	l-p		3 i r x		0
	3	1 -p	3 V	H	0
	3	3	-pi L Z		o .
1-	3 1 -p	^31	W| - WJ	-2-	p	o 2 + p
				0		2-p 2 + p 3 l-p
3	3	1 -p	“J - WJ	•3

Dalej

Dziewiąty tydzień ■ przykłady

|“²“P O    O |

°    “*-F O =(2 + p)^a(7-p).

^{3    3 7}'-P|

Układ ten jest więc okładem Cramera dla p j£ — 2 oraz p = *

• Przykład 9.2

Rozwiązać podane układy równań stosując wzór Cramera:

9* - 8y = 4 7x + 2y = 3

»)

+ 2y - z = 1 3x + y + z = 2 . x - 5z = 0

Rozwiązanie

Jedyne rozwiązanie układu Cramera postaci AX = B s niewiadomymi z_a, .... z* wyraża się wzorem

detAi det Aa    dętAń

• 3łćtA ' ^XJ m dćlA '    detA'

gdzie Aa oznacza macierz powstałą z macierzy A przez zastąpienie jej Ł-tej kolumny przez kolumną wyrazów wolnych B. a) Mamy

detA =

«= 74, det A\ =

4 -8 3 2

= 32, det Aj =

9 4

= -l,

16 1

zatem xn:

detA

dcl; Aa =

12—11		1 2 -1
3 1 1 1	■ 28, det Ai =	2 1 1
10-5|		0 0-5
1 1 -1		1 2 11
3 2 1	= 8, dcl As =	3 1 21
1 0 -5		1 0 0 |

13.

3.

b) Tdlaj

„ ,    ..    .    15    2    3

Stąd wynika, ze i = —, y = z = —-

• Przykład 9.3

Stosując wzór Cramera obliczyć niewiadomą r spełniającą układ równan:

12 + x + y= 10 + y+x = 8 + r+u = 6+u + o = 10x + t = 15.

Rozwiązanie

Dany układ zapisujemy w postaci

x + j =3	1 1000’		X
y + * = 5	0 1 1 o 0		y
* + u =7 czyli	0 0 1 i o		X	=
■ + e -9	0 0 0 1 1		u
I0x + v =15	10 0 0 0 1		r