64 65 (13)

64    Układy równań liniowych

Siódmy tydzień

Układy jednorodne i niejednorodne (2.3).

Przykłady

• Przykład 7.1

Znaleźć wymiary i wyznaczyć bazy przcslrzeni rozwiązań podanych układów rów nań liniowych:

x — y + 2z — t = 0 .

2x - y + z + 3/ = 0 ’

^a)

( x    +    2y -f    z    -    $ +    6i    =    0

b)    < 3r    +    8y +    5z    +    3s +    lOi    =    0

[ 5x    +    12y -f    7z    +    5 +    22*    =    0

Rozwiązanie

Niech JV₀ będzie przestrzenią rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych z n niewiadomymi. Wówczas dim Wo = n— tl A, gdzie A jest macierzą układu. Bazę przestrzeni Wq wyznaczamy po rozwiązaniu układu.

a) Zastosujemy kilka przekształceń macierzy rozszerzonej układu równań prowadzących do określenia jej rzędu oraz rozwiązania układu:

o r—* 1 7 rl	u. 2 — 2u>i	’ 1 -1 2-1	0	u>, + «j>2	1 0 -1 4 10
2-11 30		0 1-35	0		0 1-3 5 | 0

2. Rozwiązanie układu ma postać z = z — 4t,

Stąd dim Wo = n— txA = 4- 2 y = 3z — bt, gdzie r,<ę R, zatem

W_c = {(z - 41,32 - bt, z, t) z, t e R) = lin {(1,3,1.0). (-4,-5,0,1)} b) Rozwiązujemy rozważany układ równań

r i	2	1	-1	5	0 ’	u>2 — 3 W]	1	2	1	-1	6	0'
3	8	5	3	10	0		0	2	o	6	-8	0
L 5	12	7	1	22	0 .	- 5u»j	. 0	2	2	6	-8	0 .

A^3= ^2

_i #1 m

u*2 2

121-1 6	0	i»j — 2wj	M 0 1 1 M	0 '
011 3-4	0		01 1 3-4	0

Mamy dim Wo = n — rz zł = 5 — 2 = 3 Rozwiązanie układu ma postać z = z + 7s — 141, y = -z - 3s + 4t, gdzie z, j, l € R. Zatem

=    {(z + 7j - 141, -z - 3s -f At, z, s, t) : z,s.t € R)

= lin {(!,—1,1,0,0), (T,—3,0, 1,0), ( — 14,4,0.0.1)}.

Uwaga. Chcąc znaleźć bazę przestrzeni rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych należy go rozwiązać, tzn. część niewiadomych zapisać w postaci kombinacji liniowych pozostałych niewiadomych, czyli parametrów. Następnie w przestrzeni parametrów

{(tl.l,.....<»—r): U eiJ,

gdzie r = rz A, wystarczy wziąć dowolną bazę a wtedy, dopisując brakujące współrzędne, otrzymamy bazę przestrzeni Wo. W obu przykładach wykorzystaliśmy bazy standardowe przestrzeni parametrów.

Siódmy tydzień - przykłady

65

• Przykład 7.2

Czy podane wektory generują przestrzenie rozwiązań danych układów równań liniowych, odpowiedź uzasadnić:

t2 = (1,7, —5,0)

^a; v = (2, -6,10, -5)

u = (3.1,2,0,-9) b) v = (0,-1,0,1,3) tf = (3, -2, 2, 3,0)

+    2 y    -f-    3z    -4-    if    = 0

4-    Sy    4-    112    4-    12<    = 0    ;

-    y    -    z    =0

2/+22T-S+ t — 0

y + z 4 s + 2* = 0 ? y+5z-s + 4f=0

Rozwiązanie

Należy sprawdzić, czy każde rozwiązanie układu równań jest kombinacją liniową danych wektorów. Wystarczy więc stwierdzić, czy spośród danych wektorów można wybrać bazę przestrzeni rozwiązań odpowiedniego układu, tzn. r = n — rz/4 liniowo niezależnych weklorów, gdzie n jest liczbą niewiadomych, a A macierzą układu równań, a) W pierwszym układzie równań mamy

	1" 1 2 3 4 ]	u>2 + um -— rz		1 2	3 4
rz A = rz	-1 8 11 12			0 10	14 16
	. 2 -1 -J 0 .	u-3 - 2u»|
				0 -5	-7 -8

zatem wymiar przestrzeni rozwiązań układu jest równy r = 4 — 2 = 2. Zauważmy, że wektory u. vsą liniowo niezależne, a ich współrzędne spełniają układ równań. To oznacza, ze są one bazą przestrzeni rozwiązań, a więc ją generują.

b) Zauważmy najpierw, że współrzędne wektorów ił, v, w spełniają dany układ równań. Wymiar przestrzeni rozwiązań tego układu jest równy 3, gdyż

	^r 1	-1	2	-1	1		1	-1	2	-1	1 ]
rzA = rz	3	1	1	1	2	u>2 — -- r?	0	4	-5	4	-1	*3= ^2
	.5	-1	5	-1	4 .	u/3 — 5 u. |	. 0	4	-5	4	-1 .

więc wymiar przestrzeni rozwiązań jest równy r = 5 — 2 = 3. Sprawdzimy teraz liniową niezależność wektorów ii, r, w analizując rząd macierzy ich współrzędnych. Mamy

3	1	2	0	-9 '	u>3 -	‘ 3	1	2	0	9
0	-1	0	1	3	- rz	0	-1	0	1	3
3	-2	2	3	0 J		. 0	-3	0	3	9 .

Z równości tej wynika, że wektory «, v_t w są Umowo zależne, a zatem nie generują one trójwymiarowej przestrzeni rozwiązań

• Przykład 7.3

Wyznaczyć zbiory rozwiązań podanych niejednorodnych układów równań liniowych zgadując jedno z tych rozwiązań oraz znajdując przestrzenie rozwiązań odpowiadających im układów jednorodnych:

x f x + y + z-2t=l ^L) \ 2x 4- y - z + t = 3 '

(    x    4-    2y    —    z    +    s    — 2t    =    1

b) <    4z    +    y    4-    *    +*    =    4

(    6x    +    5y    —    z    +    2s    — 3t    =    6