4543

112

Układy równań liniowych

Dziesiąty tydzień - przykłady

113

Tb oinaai, że

[i

•a

Aj

X »	- i -	u	*
1 3	—2	—1	|2	6
0 1	—1	3	10	5
0 o	0	6	10	3
0 o	0	— 18	|0	—9 ,

*3 •—

. :][■]■

rozwiniętej postać

iktem (Ołwiązuiic naszego układa ma w lorniw

X X

’ 1 0	0	|2	1	—4 *
0 1	0	|o	—1	7 2
0 0	1	|0	0	1 2 .
—1	1	V	1.
0	J	^4	J *

aby „jedynki" w wyróżnionych kolumnach znajdowały się w różnych wirrnach. Wybór kolumn do przekształceń jest dowolny. Najlepiej jest brać kolumny zawierające .małe" liczby całkowite, „dużo" zer, a wyróżniony niererowy element powinnicn znajdować w wierszu dotąd nie wybieranym. Samo przekształcenie kolumny wykonujemy dokładnie (ak, jak dla układu Cramcra (patrz Przykład 0.6). W stosunku do układów Cramera w przypadku dowolnych układów równań mogą w trakcie postępowania pojawić się wierne zerowe - wtedy je skreślamy, wiersze równe lub proporcjonalne - wtedy skreślamy jeden z nich. Może się zdarzyć, żc w macierzy rozszerzonej układu pojawi się wiersz zerowy z jednym elementem niezerowym w kolumnie wyrazów wolnych. Talu okład równań jod oczy wiście sprzeczny. Jedli tak się nic zdarzy, to postępowanie kończy się wtedy, gdy liczba wyróżnionych kolumn jest równa liczbie wierszy, które pozostały w macierzy. Rozwiązanie układu odczytujemy teraz z końcowej postaci macierzy, wyróżnione .jedynki" wskazują zmienne zależne.

Uwaga. Przy wybieraniu wyróżnionych kolumn oraz ich niererowych elementów mamy pełną dowolność. Jednoznacznie określona jest tylko liczba tych kolumn, ale pojawia »*ę ona w naturalny sposób na końcu postępowania.

a) Przekształcamy macierz rozszerzoną układu równań otrzymując

4 3 5 7	2	-4-3 r ° -^5 -^3 -*
2 —1 1 3	4	- 2-3 O —5 —3 —1	6	•ń —
1 2 2 2 3 13 5	— 1 31	— >WJ I 1 2 2 2 L O —5 —3 —1		•4 (-»)

2 2 5 3

l

-4 - 2y - *

P

1

-I - 2-a r 1 —S —4 Ol 11 1

-- [O 5    3 1 | —6 J

W formie rozwiniętej układ równań przyjmuje postać

{

— 8y — 4* SU + 3=

u

11 — 6

gdiie r, < € «•

• Przykład 10.2

Rozwiązać podane układy równań „metodi| kolumn jednostkowych” '

4* + 3y + 5z + 7u =

2x — y + * + 3u = z + 2y + 2* + 2u a 3x -f y + 3; + 5u =

5x + y + 2r -f z

■llz - 3y - 9z - 2s + 41 - 15u = -5 14* + y + 2* + 3s + 2t + 13u =    0    .

3* - 2y - 7* + g + Qt - 2u =    1

2* + 3y + 9x - 71 + 8u = j

Ron>Mianł«

Metod* kolumn jednostkowych jest orakivr*n» wrnio

W przypadku dowolnych układów równa* ‘    \    «n«tońy chm.nacj. Gaussa

kolumn nucimy układu do postaci icd^L.J ‘    J**¹ doprowadzenie kilku

WttoatkowcJ (tan. a jedną jedynką i resztą zer) tak.

2 f	2r + 9y + 6: - ’2s — 3f =	5
^b>!	x + 2y - r— * + 5< =	5
	—2* — 7y + z + 3s — U =	-5 ’
* l	—* — 5y — * + 3r + 61 =	4
- t + 6u	= 2

zatem jego rozwiązanie można zapisać wzorami z = H+8y + 4x. -b)*Postępując według tej samej metody otrzymamy

r O s S O -131-5

♦ a»a I    1    2—1    —1    5

O    —3 —1    i

O    —3 —2    2

oj ro

i

9

2

—7

6 — I X

-5 — 1

—2—31    5

— 1    5    5

3 —4 I —5 3    61    4

+ *‘*2

— fi

_ Su — ^3ł- gdzie

6

11

|—5"i w-4.(.i) ro	— 34	S	O
io -» + I 1	32	—2	o
5 1 — 11—4 I O	15	— 1	1
1 —X J •»-«•*« (_ O	—3	O	o

	17 4 32						o	17	1	O	o
f?		1 —2	O O	o o	i	ZY*	i	4 47 2	O	o	o
°	15	— 1	1	o			o	43	O	1	o
Lo	—3	0	O	1	i J		o	4__