DSC07338

94 Układy równań liniowych

b) Dla układu rozważanego w tym przykładzie mamy

det A = 2 1 1 = 2p(l - p),

więc ma on dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy p / 0 i p ^ 1. Prze-prowadzhny teraz analizę układu dla p = O oraz p = 1 stosując twierdzenie Kroneckera-Capellego. Dla p = 0 mamy

	■ i	0	1	1 ‘		■ 1	0	1	1 ■		' 1	0	l	1‘
=:	2	1	1	0	“7 - 3»1 _	0	1	-1	-2	U»3 “ «*»2 —*	0	1	-1	-2
	. 1	1	0	0.	•j — *1	.0	1	-1	-1.		.0	0	0	1.

MISI =

	' 1	1	1	1 '		• 1	1	1	1 ■
	2	1	1	1	u>2 — «l _>	1	0	0	0
	. 1	1	1	1.	WJ — *1	.0	0	0	0.

Oznacza to, że rząd macierzy A układu jest równy 2 podczas, gdy rząd macierzy rozszerzonej [A|S| jest równy 3. Układ równań jest w tym przypadku sprzeczny. Dla parametru p = 1 mamy

IA\B\ =

W rozważanym przypadku rzędy macierzy głównej oraz macierzy rozszerzonej układu są równe 2. Oznacza to, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru.

c) W kolejnym układzie równań mamy

|    1 I

det A =

l — 1 I = p^a — 2p — 3 = (p + l)(p — 3),

-1 i I

	r°	0	0|	^21
ń	»i + w _ 1 0	2	0	-2
	1 Li	—1	—^11	lJ

więc dla p jŁ —l oraz p^ 3 układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Dla p = -1 mamy

Układ równań jest w

r^3	i	11	l^ll
U	i	-i	3
Li	-i	3	UJ

a więc rzA = 2 < 3 = rz |A|BJ • d) W ostatnim układzie równań mamy

1	r°	4	—81	-21
•i ->•* —	0	2	—41	2
	Li	-1	31	lJ

•i —

r°	0	0	-6'
0	2	-4	2
Li	-1	3	1.

det A ■

PPPP 1 P P P 1 1 P I l l l

Dla p = 0 oraz p = 1 macierze 0 0 0

P~ 1 0 0 1

o

p- 1

0

1

o

0

p- 1

1

= p(p -1)³.

p | »» - ••

P

_B rozszerzone przyjmują odpowiednio postać

i

i

0    o

1    o 1 1

oraz

Zatem dla p = O otrzymamy, że rz .4 = 3 = rz [A[B\ = r < n = 4, więc układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n — r = 1 parametru. Natomiast dla p = i mamy rz A = l = rz [4|B| = r < n = 4 i układ równań ma także nieskończenie wicie rozwiązań, ale zależnych od n — r = 3 parametrów.

• Przykład 4.12

Klienci sklepu spożywczego stojący przed nami w kolejce płacili kolejno: za 2 kostki masła, 2 bochenki chleba, 10 jaj, 3 litry mleka - 9.50 zł; za 1 masło, 2 chleby, 20 jaj, 1 mleko - 8.20 zł; za 3 masła, 1 chleb, 5 jaj, 2 mleka - 8.90 zł.

a)    Chcemy kupić 2 masła, 5 chlebów, 35 jaj i 5 litrów mleka. Ile zapłacimy?

b)    Czy po zapłaceniu za zakupione produkty poznamy ich ceny jednostkowe?

c)    Jakiego zakupu powinniśmy dokonać, aby uzyskać każdy z tych produktów i jednocześnie poznać jego cenę jednostkową?

d)    Wyznaczyć ceny jednostkowe, jeżeli kupując po jednej sztuce każdego z tych produktów zapłaciliśmy 3.60 zł.

Rozwiązanie

Niech x, y, z, t oznaczając odpowiednio ceny jednostkowe kostki masła, bochenka chleba, jajka, litra mleko. Z danych zadania wynika następujący układ równań

f    2x    +    2y    +    10?    +    3t    =    9.5

ł    x    +    2y    +    20z    +    t    =    8.2    .

L    3x    +    y    +    5r    +    21    =    8.9

a) Należy wyznaczyć wartość c    taką, że c = 2x + 5y + 35i + 51. Wystarczy, aby równanie

dęfinującc liczbę c było kombinacją liniową wcześniejszych trzech równali. Mówiąc ściśle, aby istniały stale ai, aa, as € R takie, że

(2,5,35,5) = ai (2,2,10,3) + aa (1,2,20,1) + o_a (3,1,5,2).

Stale ai, aa, aj znajdziemy rozwiązując układ równań

2	1	3	2"		2 1	3	2'
2	2	1	5	vs — 2u>i	-2 0	-5	1
10 20		5	35	u>3 — 20««ł 104 — «1	- 30 0	-55	-5
3	1	2	5		l 0	-1	3,

“1 1*2 -f

30u-4

	0 1 5 0 0-7	-4' 7	*»? f|[»2r	'0 1 5 0 0 1	-4' -1
	0 0 -85 .10 -1	85 3.	“» • f-r)	.1 0 -i;	3.

	'0 10 0 0 1	1' -1			10 0 0 1 0	2' l
	.10 0	2.	iua —	—itfj	.0 0 1	-1.

Stąd aj = 2, oj = 1, as = -1. więc

c = ai • 9.5 + aa ■ 8.2 + 03 • 8.9 = 18.3.

Z przeprowadzonych obliczeń wynika, że zapłacimy 18.30 zl.