3
3
56
Układy równań liniowych
tzn., gdy p ^ 4 i p / 1. Macierz rozszerzona układu dla p = -4 ma postać
|
-7 |
-7 1-3 |
"1 (-7) |
“ J 1 |
3 -7 |
|
-2 |
—2 |-8 |
«/2 4 2u., |
0 0 |
50 T . |
Ml D]
Stąd wynika, że układ jest sprzeczny, gdyż rz A = ] < 2 = rz \A\H\. Dla p = ] marny
Ml #] =
3
3
-2 2 0 C
więc rz>4 = 1 = u B. Układ równań ma zatem nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru.
b) Dla układu rozważanego w tym przykładzie marny
1 V 1
det A =
= 2p(l - p),
1 1 p
więc ma on dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy p (] i p * 1. Przeprowadzili:/ teraz anaJizę układu dla p = 0 ora2 p =■ 1 stosując twierdzenie Kroneckcra-Ca-pellego. Dla p = C mamy
[A\B} =
|
'10 1 |
1 |
u>2 — 2u/j |
10 2 |
J ' |
|
2 1 1 |
0 |
0 1 -1 |
-2 | |
|
1 1 0 |
0 . |
“3 “ “*1 |
i) 1 -1 |
-1 . |
|
' 1 C |
1 |
1 |
|
0 1 |
-1 |
-2 |
|
. 0 0 |
0 |
1 . |
Oznacza to, że rząd macierzy A układu jest równy 2 podczas, gdy rząd macierzy rozszerzonej [/i|/?] jest równy 3. Układ równań jest w tym przypadku sprzeczny. Dla parametru
|
1 1 1 |
11 |
1 i i |
1 7 | ||
|
'A\B) = |
2 i : |
i |
u-2 W| |
1 0 0 |
° |
|
.111 |
i. |
- t*-l |
.000 |
oj |
p = 1 mamy
W rozważanym przypadku rzędy macierzy głównej oraz macierzy rozszerzonej układu są równe 2. Oznacza to, zc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru.
c) W kolejnym układzie równań marny
I p 1
det A = I 1 1
1 -1
= p2 — 2p — 3 — (p -ł- l)(p — 3),
|
-l L |
i |
11 |
r0 |
0 |
3 |
2 1 | |
|
I 1 |
-i |
-i |
t*»r 4 «*>3 |
0 |
2 |
0 |
— 2 |
|
L i -i |
-i |
i. |
u»2 - |
. 1 |
-1 |
-1 |
1 . |
więc dla p ^ - 1 oraz p 3 układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Dla p = -1 mamy [A\B] =
Układ równań jest w tym przypadku sprzeczny. Podobnie jest dla p = 3, gdyż
Ml#) =
|
'3 1 1 1 l -1 |
1 ' 3 |
- 3iw3 |
■ 0 4-8 0 2-4 |
-2 ' 2 |
i«] — 2 tu j |
0 0 0 0 2-4 |
-6 ‘ 2 |
|
1-1 3 |
1 |
u-2 - uij |
.1-1 3 |
1 . |
.1-1 3 |
1 . |
Szósty tydzień - przykłady
57
a więc rz A = 2 < 3 = rz .
<1) W ostatnim układzie równań mamy
|
V |
p |
p |
p |
u, j — u*2 |
p -1 |
0 |
0 |
0 | |
|
1 |
p |
V |
p |
*2 - u'3 |
0 |
p - 1 |
0 |
0 | |
|
1 |
1 |
V |
p |
wn — \L'Ą |
0 |
0 |
p -1 |
0 | |
|
1 |
1 |
1 |
p |
1 |
1 |
1 |
V |
= p(p - 1}\
Dla p = 0 oraz p = 1 macierze rozszerzone przyjmują odpowiednio postać
det A —
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 ' |
B- i_ |
1 |
1 |
1 | ||
|
1 |
0 |
G |
0 |
0 |
oraz |
1 |
1 |
1 | ||
|
1 |
1 |
G |
0 |
0 |
1 1 |
1 |
1 |
1 | ||
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 1 |
1 |
i |
i |
Zatem dla p = 0 otrzymamy ze rz A = 3 = rz [>i|i3] = r < n = 4, więc układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n — r = 1 parametru. Natomiast dla p = 1 mamy rz A =• 1 = rz [/4|/ł] = r < n = 4 i układ równań ma także nieskończenie wiele rozwiązań ale zależnych od n — r = 3 parametrów.
• Przykład* 6.4
Rozwiązać podane układy równań liniowych w zależności od parametru rzeczywistego p
-1
V
2
-P
Rozwiązanie
a) Wykonamy najpierw kilka przekształceń macierzy rozszerzonej układu równań. Mamy
|
12 3 |
-l |
|
0 0 -2 |
p + 3 |
|
0 0 -1 |
4 |
|
.0 0 1 |
1-P . |
|
'12 3 |
-1 ' |
|
3 e t |
V |
|
2 4 5 |
2 |
|
.12 4 |
~P . |
u*2 -3»i
- 3u»,
— u/]
ui2 ł 2u/4 **3 + *"4
|
[12 3 |
-1 1 | |
|
0 0 0 |
5 -p |
4-3= |
|
0 0 0 |
5 - p |
“3 *- |
|
0 0 1 |
1 - P . |
12 3-1
00 1 1 -p
0 0 0 |5 -p .
Dla p sć 5 układ jest sprzeczny, gdyż wtedy rzy4 = 2 < 3 = rz [z4|J?]. Dla p = 5 przekształcając dalej macierz rozszerzoną otrzymamy
|
’ 1 2 3 |
-i |
|
0 0 1 |
-4 |
‘-'i -
1 2 Ol 11 0 0 11-4
co oznacza, że układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań z jednym parametrem: z = 11 — 2y, z — —4, gdzie y € R. b) Macierz rozszerzona układu ma postać
|
’ V 1 |
-2 1 |
P ‘ | |
|
[MB] = |
1 p |
l 0 |
3 |
|
.2 2 |
2 p |
2. |