56 57 (16)

56

Układy równań liniowych

tzn., gdy p ^    4 i p / 1. Macierz rozszerzona układu dla p = -4 ma postać

-7	-7 1-3	"1 (-7)	“ J 1	3 -7
-2	—2 |-8	«/2 4 2u.,	0 0	50 T .

Ml D]

Stąd wynika, że układ jest sprzeczny, gdyż rz A = ] < 2 = rz \A\H\. Dla p = ] marny

Ml #] =

3

3

-2 2 0 C

więc rz>4 = 1 = u B. Układ równań ma zatem nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru.

b) Dla układu rozważanego w tym przykładzie marny

1    V 1

det A =

= 2p(l - p),

2    1 1

1    1    p

więc ma on dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy p (] i p * 1. Przeprowadzili:/ teraz anaJizę układu dla p = 0 ora2 p =■ 1 stosując twierdzenie Kroneckcra-Ca-pellego. Dla p = C mamy

[A\B} =

'10 1	1	u>2 ^— 2u/j	10 2	J '
2 1 1	0		0 1 -1	-2
1 1 0	0 .	“3 “ “*1	i) 1 -1	-1 .

' 1 C	1	1
0 1	-1	-2
. 0 0	0	1 .

Oznacza to, że rząd macierzy A układu jest równy 2 podczas, gdy rząd macierzy rozszerzonej [/i|/?] jest równy 3. Układ równań jest w tym przypadku sprzeczny. Dla parametru

	^1 1 1	11		^1 i i	1 7
'A\B) =	2 i :	i	u-2 W|	1 0 0	°
	.111	i.	- t*-l	.000	oj

p = 1 mamy

W rozważanym przypadku rzędy macierzy głównej oraz macierzy rozszerzonej układu są równe 2. Oznacza to, zc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru.

c) W kolejnym układzie równań marny

I ^p    1

det A = I 1    1

1 -1

= p² — 2p — 3 — (p -ł- l)(p — 3),

-l L	i	11		^r0	0	3	2 1
I 1	-i	-i	t*»r 4 «*>3	0	2	0	— 2
L i -i	-i	i.	u»2 -	. 1	-1	-1	1 .

więc dla p ^ - 1 oraz p 3 układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Dla p = -1 mamy [A\B] =

Układ równań jest w tym przypadku sprzeczny. Podobnie jest dla p = 3, gdyż

Ml#) =

'3 1 1 1 l -1	1 ' 3	- 3iw3	■ 0 4-8 0 2-4	-2 ' 2	i«] — 2 tu j	0 0 0 0 2-4	-6 ‘ 2
1-1 3	^1	u-2 - uij	.1-1 3	1 .		.1-1 3	1 .

Szósty tydzień - przykłady

57

a więc rz A = 2 < 3 = rz .

<1) W ostatnim układzie równań mamy

	V	p	p	p	u, j — u*2	p -^1	0	0	0
	1	p	V	p	*2 - u'3	0	p - 1	0	0
	1	1	V	p	wn — \L'Ą	0	0	p -1	0
	1	1	1	p		1	1	1	V

= p(p - 1}\

Dla p = 0 oraz p = 1 macierze rozszerzone przyjmują odpowiednio postać

det A —

	0	0	0	0	0 '		B- i_	1	1	1
	1	0	G	0	0	oraz		1	1	1
	1	1	G	0	0		1 1	1	1	1
	1	1	1	0	0		1 1	1	i	i

Zatem dla p = 0 otrzymamy ze rz A = 3 = rz [>i|i3] = r < n = 4, więc układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n — r = 1 parametru. Natomiast dla p = 1 mamy rz A =• 1 = rz [/4|/ł] = r < n = 4 i układ równań ma także nieskończenie wiele rozwiązań ale zależnych od n — r = 3 parametrów.

• Przykład* 6.4

Rozwiązać podane układy równań liniowych w zależności od parametru rzeczywistego p

a) <

x + 2y + Zz = 3r +    + 7z =

2z + 4y -f 5z =

x + 2y + 4z =

-1

V

2

-P

b)

pz    +    y    -    2z    +    i    = p

x    +    py    +    z    =3

2x    +    2y    +    2z    +    pt    = 2

Rozwiązanie

a) Wykonamy najpierw kilka przekształceń macierzy rozszerzonej układu równań. Mamy

12 3	-l
0 0 -2	p + 3
0 0 -1	4
.0 0 1	1-P .

'12 3	-1 '
3 e t	V
2 4 5	2
.12 4	~P .

u*2 -3»i

-    3u»,

—    u/]

ui₂ ł 2u/₄ **3 + *"4

[12 3	-1 1
0 0 0	5 -p	4-3=
0 0 0	5 - p	“3 *-
0 0 1	1 - P .

12 3-1

00 1 1 -p

0 0 0 |5 -p .

Dla p sć 5 układ jest sprzeczny, gdyż wtedy rzy4 = 2 < 3 = rz [z4|J?]. Dla p = 5 przekształcając dalej macierz rozszerzoną otrzymamy

’ 1 2 3	-i
0 0 1	-4

‘-'i -

1 2 Ol 11 0 0 11-4

co oznacza, że układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań z jednym parametrem: z = 11 — 2y, z — —4, gdzie y € R. b) Macierz rozszerzona układu ma postać

	’ V 1	-2 1	P ‘
[MB] =	1 p	l 0	3
	.2 2	2 p	2.