Układy równań liniowych
5

120

Układy równań liniowych

4.16

Rozwiązać podane układy równań „metodą kolumn jednostkowych”:

3x 4

2 y 4 ^

-

t

=

0

' 2x +

3 y + z -

2.s -

t =

6

5x -

y + z

J_ 1

21

=

-4

b)

Ax +

7y 4-2 z -

5s 4

t =

17

lx 4

+ 00

-

71

=

6

ł

6x +

5 y + 3 z —

2 s -

91 =

1

X -

y + z

4-

2

=

4

2x +

Qy + z —

5-s -

101 =

12

3x

4

y

—

21

=

1

c X

- 3y 4 2

— 2s

4 t =

-5

5x

4

2 y +

2z

-

t

=

5

2x

- 6 y

- 4s

4 1 =

-10

X

-

y

-

21

= -

-5

2 z

4 1-

0

5x

4

y +

z

-

31

=

0 ^;

^d; s

-2x

4 (iy + 2z

4 4s

=

10

—7x

3 y 4

Z

4-

51

= -

-4

—2x

4 6y 4 Az

4 4.s

4 <4- II

10

Ax

■

y -

2z

-

51

= -

-2

—x

4 Sy 4 2

4 2s

=

5

4.17

Dla jakich wartości parametru p podane układy równań mają dokładnie jedno rozwiązanie? Określić liczby rozwiązań tych układów w pozostałych przypadkach:

{x 4 py — z — 1 x + 10</ — 6z = p ; 2x - y 4 pz = 0

{x 4 Ay — 2z = —p Zx 4 5y — pz =    3

px 4 3 py + z — p

Wykonanie pewnego pojemnika wymaga wykonania czterech czynności: narysowania formy, wycięcia, złożenia modelu i jego pomalowania. Liczby poszczególnych czynności w kolejnych dniach pracy pewnego pracownika podaje tabela:

	rysowanie	wycinanie	składanie	malowanie
poniedziałek	30	20	10	5
wtorek	20	15	15	10
środa	40	25	20	20
czwartek	30	20	20	20

Obliczyć czas wykonywania poszczególnych czynności, jeżeli w kolejnych dniach łączny czas pracy wynosił odpowiednio 2 h 10 min, 2 h 15 min, 3 h 55 min, 3 h 30 min.

Geometria analityczna w przestrzeni

Przykłady

Wektory

• Przykład 5.1

Obliczyć długości podanych wektorów:

a) 3= (l,-v/3,v/5); b) PQ, gdzie P = (1,2,3), Q = (4,6,15).

Rozwiązanie

a)    Długość wektora v = (x,y, z) wyraża się. wzorem

|5| = \/x² + y² + z².

Zatem

| a| = \jl² + (~\/3)² + (75)² = \/9 = 3.

b)    Długość wektora AB łączącego punkty A = (xi,yi,zi), B = (2:2,2/2,22) wyraża się

wzorem    _

| AB I = \J (X2 - Xi)² + (j/2 - 2/1 )² + (22 - Zi)².

Zatem

| PQ | = ^/(4-l)² + (6-2)² + (15-3)² = Vm = 13.

Równoległościan jest rozpięty nawektorach a. b. c. Wyrazić przekątne tego rów-Hoległościanu przez wektory a, b, c.

Rozwiązanie

Niech u =BH, v =EC,_w — AG i z =DF oznaczają przekątne równoległościanu rozpiętego na wektorach o, b, ć (rysunek). Aby nie zaciemniać rysunku zaznaczono na nim