081 2

160 IX. Macierze, wyznaczniki i równania liniowe

którego rozwiązaniami są

160 IX. Macierze, wyznaczniki i równania liniowe

k 31

y=-

lf -I

skąd

5z

x = ■

11 z

■y

Podstawiając za z dowolne wartości otrzymujemy nieskończenie wiele rozwiązań, w ty oczywiście rozwiązanie zerowe. Oto przykładowo kilka rozwiązań:

z	i	-2	1 <N >	7
X	5 7	10 7		-5
y	1 1 7	_22 7	2	11

W tym przypadku trzy płaszczyzny, których równania tworzą układ (1) nie tylko p_rze. chodzą przez początek układu, ale przecinają się (wszystkie trzy) wzdłuż pewnej proste¹

§ 9.6. UKŁAD m RÓWNAŃ LINIOWYCH O n NIEWIADOMYCH. TWIERDZENIE KRONE-CKERA-CAPELLIEGO

Rozpatrzmy teraz układ m równań liniowych o n niewiadomych:

a_llx₁+a_l2x₂ + ...+a_lnx_n = b_l,

,_QA,s    a_2ix₁+a₂₂x₂+...+a_2nx_n=b₂,

a„iX_l+a_m2x₂ + ...+a_mnx_n = b_m,

przy czym równania mogą być jednorodne albo niejednorodne (wszystkie albo niektórei liczba równań może być mniejsza od liczby niewiadomych (m<n), może być równa liczbie niewiadomych (m-n) i może być większa od liczby niewiadomych (m>n).

Utwórzmy macierz powstałą ze współczynników przy niewiadomych układu (9.6.1

		"«n	al2 .	• ^aln
(9.6.2)	W =	^a21	o22 .	■ a2n
		^aml	^am2 •

Rzędem r(\V) macierzy W nazywamy największy stopień wyjętego z niej różnego od^ze^ minora, przy czym jeżeli wszystkie elementy macierzy są równe zero, to przyjmuje™)’ rząd jej jest równy zero. Macierzą uzupełnioną U macierzy W nazywamy macierz P°^^SJy przez dopisanie do macierzy W kolumny utworzonej z wyrazów wolnych układu (9- •

	Ali	ax2 •	■ a ln	b i
U =	021	^a22 ■	■ a2n	b2
	Oml	^am2 •	• Cl mn	bm

(9.6.3)

Sformułujemy teraz twierdzenie Kroneckera-Capelliego, które mówi o rozwiązalności _uR)adu równań (9.6.1):

Warunkiem koniecznym i wystarczającym rozwiązalności ogólnego układu rów-\_ań liniowych (9.6.1) jest równość rzędu macierzy W współczynników układu i rzędu macierzy _mpełnionej U:

r = r(W) = r(U).

Gdy wspólny rząd r tych macierzy równa się liczbie niewiadomych n, to układ równań fna dokładnie jedno rozwiązanie, gdy zaś wspólny rząd r jest mniejszy od liczby niewiadomych n, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, które zależą odn — r dowolnych parametrów.

Zauważmy, że zawsze jest r(\V)<«.

Zadanie 9.11. Rozwiązać układ równań

x + 3y-4z = 4,

(1)    3x + 2_y —z = 1 ,

x —4y+ 7z = 5 .

Rozwiązanie. Budujemy macierz współczynników W i macierz uzupełnioną U:

	‘1 3 -4'		"1 3 -4 4'
w=	3 2-1	, u=	3 2-11
	1 -4 7		1-4 7 5

Łatwo obliczamy, że detW=0, czyli nie możemy stosować twierdzenia Cramera. Rząd macierzy W jest niższy niż 3, ale ponieważ minor stopnia drugiego utworzony ze współczynników przy x i y w dwóch pierwszych równaniach

1 3 3 2

= 2-9 =

-7/0,

%rząd r(W) = 2.

^ Zbadajmy następnie rząd macierzy uzupełnionej U, obliczając wartości wyznaczników, n. możemy utworzyć z macierzy U, zaczynając od wyznaczników możliwie najwyższego ^Pma. tj. od stopnia 3. Skreślając trzecią kolumnę otrzymujemy wyznacznik ¹

= 10-48 + 3-8+4-45/0

1

3 4 3 2 1 1 -4 5

^ r(U) _{= 3}

w_ar ^0,lleważ rzędy macierzy W i U są różne, czyli r(W)/r(U), więc nie jest spełniony ^ ^e* rozwiązalności układu, tzn. układ ten nie ma rozwiązania, czyli jest sprzeczny. w_Spó| '^nterpretacji geometrycznej płaszczyzny o równaniach (1) nie mają żadnego punktu ^ego, chociaż przecinają się każda z każdą.

^a*'^za matematyczna cz. I