078 2

154 IX. Macierze, wyznaczniki i równania liniowe

Widzimy, że zarówno PF=0 jak i lV_x — 0, W_y = 0. Układ równań (I) jest w tym przyp^ równoważny jednemu z tych równań, gdyż np. drugie równanie otrzymuje się przez pom_no żenie obu stron pierwszego równania przez |. Tak więc zamiast układu (1) wyst_arczv rozważyć jedno z nich np. pierwsze

(2)    2kx - 4ky = 6 .

Gdy k/O, równanie to jest nieoznaczone, wówczas bowiem

(3)

x = 2y+-k

i podstawiając za y dowolne liczby rzeczywiste otrzymujemy nieskończenie wiele rozwia. zań. Zatem tym samym układ (1) jest nieoznaczony, a wzór (3) podaje wszystkie jeg₀ rozwiązania.

Gdy k = 0, równanie (2) przyjmuje postać

0x — 0-y = 6, tzn. 0 = 6,

a więc jest to równanie sprzeczne, czyli układ (1) jest sprzeczny.

§ 9.4. UKŁAD n RÓWNAŃ LINIOWYCH O n NIEWIADOMYCH. WZORY CRAMERA

Układ n równań liniowych o n niewiadomych ma postać

alixl+a12x2+..	■+alnxn = bl ,
^a2i ^xi +a22x2+..	■+a2n*n = b2 ,
a„i xt+an2 x2 + ..	■+ann x„ = b„.

Wyznacznik utworzony ze współczynników przy niewiadomych jt„ x₂, ..., x„ nazywam; wyznacznikiem charakterystycznym (lub głównym) układu, lub krócej: wyznacznikiW układu, i oznaczać będziemy symbolem W, zatem

		^an	al2 .	• *!»
(9.4.2)	w=	a21	^a22 •	■ a2n
		fl«i	^„2 •	• ®nn

Utwórzmy następnie z wyznacznika W n wyznaczników W_lt W₂, ..., zastępy odpowiednio kolejno pierwszą, drugą, ..., ostatnią jego kolumnę kolumną wyrazów " nych (stałych) (por. regułę (9.3.5)):

	b 1 <*12 ^aln		^all ^bl ^al n		an a 12 ••• ^bi
ii £	b2 a22 ... a2n	, W2 =	^a21 ^b2 ^a2n	W — , • • • 9 ^rrn —	a21 ai2 ••• ^bl
	b„ a„2 ... a„„		(*n\ bfi ••• ^nn		«ni ^an2 ■■■ ^b"

]Vfog4 zachodzić trzy przypadki:

przyP^adek    Wówczas stosujemy tzw. twierdzenie Cramera:

lo układ n równań liniowych z tą samą liczbą niewiadomych ma dokładnie jedno rozwią-

^4 3) Jeżeli wyznacznik charakterystyczny W układu równań (9.4.1) nie jest równy

teflb tanie

x, =

x₂ =

x_n-

Wzory te nazywamy wzorami Cramera.

Zatem w tym przypadku układ jest oznaczony.

przypadek 2: W=0, ale nie wszystkie wyznaczniki W_y, W₂, ..., JV„ jednocześnie ₅ą równe zeru. Wówczas układ równań (9.4.1) jest sprzeczny.

Przypadek 3: W=0, W₁ = W₂ = ... = fV_n-0. W tym przypadku przynajmniej jedno i równań układu (9.4.1) wynika z pozostałych równań, czyli jest ich kombinacją liniową (por. notkę na str. 149). Odrzucając równanie (albo równania) będące kombinacją liniową pozostałych równań otrzymujemy nowy układ równań równoważny (tzn. mający dokładnie takie same rozwiązania) układowi pierwotnemu, ale zawierający wówczas mniej równań niż niewiadomych (patrz zad. 9.7, przypadek gdy fc= 1). Omówienie metody rozwiązywania takiego układu znajdzie czytelnik w § 9.6 (układ może być sprzeczny lub nieoznaczony).

Zadanie 9.6. Rozwiązać układ trzech równań z trzema niewiadomymi

5x + 3y+4z= -18 ,

0)    3x +z = —7,

6x+3y+6z= —27.

Rozwiązanie. Obliczamy wartość wyznacznika charakterystycznego układu

5 3 4

W=

3 0 1 6 3 6

= 36+18 —15-54 = — 15.

Ponieważ J+/0, więc układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, które otrzymamy sto-^ wzory Cramera. Obliczamy wartości wyznaczników

W =

W =

-18 3 4 -7 0 1 -27 3 6

5    -18 4 3 -7 1

6    -27 6

= -84-81 + 54+126 = 15,

= -210-324-108+168+135+324=-15,

-162-126 + 105+243=60,

5    3 -18 3 0-7

6    3 -27