087 2

172 IX. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe

mnożonej przez odwrotność wyznacznika danej macierzy, tzn.

(9.7.11)

A^_1 = —A^D = A

^11	^21	^nl
A	A	A
A12	■^22	^n2
A	A	A
ln	Aln	A„n
A	A	A

Natomiast wyznacznik macierzy odwrotnej jest równy odwrotności wyznacznika macierzy danej, tzn.

(9.7.12)    ^d'^,A"=_d-SA'    W

Zadanie 9.20. Wyznaczyć macierz odwrotną macierzy

A =

'2 7 3' 3 9 4 1 5 3

Rozwiązanie. Obliczmy najpierw wartość wyznacznika macierzy' A, aby przekonać się czy macierz odwrotna A^-1 istnieje. Otrzymujemy

det A=

2    7 3

3    9 4 1 5 3

= 54+45+28-27-40-63=-3.

Ponieważ det A = -3#0, więc macierz A jest macierzą nieosobliwą, a więc macierz odwrotna istnieje.

Tworzymy więc macierz minorów [M_ik] danej macierzy A, wpisując na miejsce każdego elementu odpowiadający mu minor:

	9 4		3 4		3 9
	5 3		1 3		1 5
	7 3		2 3		2 7
	5 3		1 3		1 5
	7 3		2 3		2 7
	9 4		3 4		3 9

7    5    6

6    3    3

1 -1 -3

Stąd otrzymujemy macierz dopełnień algebraicznych    mnożąc wszystkie

przez (— l)^,+fc , gdzie i jest wskaźnikiem wiersza, a k jest wskaźnikiem kolumny- °

żujemy macierz

Transportując tę macierz otrzymujemy macierz dołączoną A^D macierzy A:

a^d=M^t=

Macierz odwrotną A'¹ macierzy A otrzymujemy mnożąc macierz dołączoną przez odwrotność wyznacznika macierzy A, tj. przez —i, czyli mnożąc każdy jej element przez _i Ostatecznie więc

Jako ćwiczenie zaleca się czytelnikowi sprawdzenie iloczynu

'2 7 3'		r-i 2 -ii 3^3		'1 0 0'
3 9 4	•	3 ^1 3	=	0 1 0
1 5 3		-2 1 1		0 0 1

Uwaga. Weźmy teraz pod uwagę zbiór wszystkich macierzy pewnego ustalonego wymiaru mxn. W zbiorze tym określiliśmy operację dodawania za pomocą wzoru (9.7.1) oraz operację mnożenia przez liczbę za pomocą wzoru (9.7.3). Przy tak określonych działaniach zbiór macierzy jest zbiorem liniowym. Podamy ogólnie definicję przestrzeni liniowej (inna nazwa zbioru liniowego), która w nowoczesnej matematyce odgrywa coraz to większą rolę.

Przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych R nazywamy zbiór X, w którym określone są dwie operacje:

^a) dodawanie elementów zbioru X,

k>) mnożenie elementu zbioru X przez liczbę rzeczywistą w taki sposób, że są spełnione ^nast?pujące aksjomaty:

¹ (a + b)+c=a+(b+c), czyli dodawanie jest łączne,

~° ^a+b=b+a, czyli dodawanie jest przemienne,

3 (a+b — a+c)=>(b = ó), czyli zachodzi tzw. prawo redukcji,

⁴° «(/?a) = (ct/?>7,

^ ^a(a+b)=aa+fłb,

⁶ (ot +jS)a = aa + fia,

1 1 -a=a\

zapisie tych siedmiu aksjomatów litery łacińskie oznaczają elementy przestrzeni ^I'^l°^Wej X, a litery greckie — liczby rzeczywiste.