077 2

152 IX. Macierze, wyznaczniki i równania liniowe

Mówimy wówczas, że układ (9.3.3) jest oznaczony (por. zad. 9.3). Geometrycznie ozi^ to, że proste o równaniach (9.3.3) mają dokładnie jeden punkt wspólny (przecinają _s-w jednym punkcie).

Przypadek 2: ^=0, a W_x, W_y nie są jednocześnie równe zeru. Wówczas układ (9 3 jest sprzeczny (por. zad. 9.4, przypadek b). Geometrycznie oznacza to, że proste o rów^ niach (9.3.3) są równoległe.

Przypadek 3: W= 0, W_x=0, W_y=0. Wówczas układ (9.3.3) jest równoważny j_ed nemu z równań układu, może więc być sprzeczny albo nieoznaczony, w drugim p_Rjr padku układ ma nieskończenie wiele rozwiązań (interpretacja geometryczna jest taka że proste o równaniach (9.3.3) pokrywają się (por. zad. 9.5)).

Zadanie 9.3. Rozwiązać za pomocą wyznaczników układ równań

(1)    3x-7y = l, 2x+9y=28.

Rozwiązanie. Obliczamy wyznacznik utworzony ze współczynników przy niewia. domych:

(2)    \ ~9=3-9—(—7)-2=41.

Ponieważ wyznacznik ten jest różny od zera, więc układ równań (1) jest oznaczony, tzn. ma dokładnie jedno rozwiązanie, które znajdujemy ze wzorów (9.3.4):

x =

1 -7

28 9

41

y=

3 X 2 28

41

Oba wyznaczniki (w licznikach) zostały utworzone według reguły (por. też § 9.4): (9.3.5) Wyznacznik w liczniku tworzymy z wyznacznika ze współczynników przy niewiadomych (wyznacznika (2)) zastępując w nim kolumnę współczynników przy tej niewiadomej, którą obliczamy, przez kolumnę wyrazów wolnych (stałych).

Ostatecznie otrzymujemy

9 + 196

x=-

y=-

84-2

tzn. x=5, y=2.

41    41

Geometrycznie oznacza to, że dwie proste o równaniach (1) przecinają się w punkcie

0    współrzędnych x=5, y=2.

Zadanie 9.4. Rozwiązać układ równań (1)    2x—6y = 10,    5x —15 y=k

1    przeprowadzić dyskusję w zależności od parametru k.

Rozwiązanie. Obliczmy wyznacznik utworzony ze współczynników przy domych

2

W=

-6 5 -15

=2-( —15) — ( — 6)*5= — 30 —(—30) = 0.

_aCznik ten jest równy zeru, więc układ (1) na pewno nie ma jednoznacznego rozwią-ia (proste o równaniach (1) nie przecinają się). Teraz zajść mogą dwa przypadki.

^Z p_rzyP^adek a- Oba wyznaczniki utworzone jak w zadaniu 9.3 są równe zeru:

(2)

W_y=

= 2/c —50=0, W_x=

10 -6 k -15

= — 150+6/c = 0,

_c0 zachodzi dla A: = 25. Wówczas układ (1) przyjmuje postać ^    2x —6y = 10,    5x —15y = 25

i widzimy, te ten układ sprowadza się do jednego równania (np. drugie równanie otrzymujemy z pierwszego mnożąc obie jego strony przez 2,5); każda para liczb spełniając jedno z tych równań spełnia zarazem drugie (każdy punkt leżący na jednej z tych prostych leży jednocześnie na drugiej, bo obie proste w tym przypadku pokrywają się). Zatem gdy k=25, układ równań jest nieoznaczony, tzn. ma nieskończenie wiele rozwiązań; otrzymać je możemy podstawiając za x dowolne liczby. Podstawiając np. x=0, 1, f, 11, J2, n i obliczając z któregokolwiek równania układu (3) odpowiadające wartości y, otrzymujemy jako rozwiązania

x = 0, y= —|, x=l, y=-%,    x=|, y= —§ ,

x = 11, y—2 , x = _v/2, y = j(72-5),    x = rr, y = |(27r —10).

Przypadek b. Oba wymienione wyznaczniki (2) są różne od zera. Odpowiada to przypadkowi k #25. Obierzmy na k dowolną inną liczbę, np. A: = 20; układ przyjmie wtedy postać

(⁴)    2x-6y = 10,    5x —15y = 20 .

Okład równań (1) dla k #25 jest układem sprzecznym. Łatwo to stwierdzimy mnożąc °We strony pierwszego równania układu (4) przez 5, a drugiego równania przez (—2) i dodając stronami, otrzymujemy wówczas sprzeczność 0=10. W tym przypadku dwie P^r°ste o równaniach (1) są równoległe, nie mają więc punktu wspólnego.

Zadanie 9.5. Rozwiązać układ równań

2kx—4ky=6, 5fcx —10Acy = 15

Poprowadzić dyskusję w zależności od parametru k.

^don'y°h^WiąZanie' ^kbczamy wyznacznik utworzony ze współczynników przy niewia-

W=

2k —4 k 5 k — 10/c

= — 20fc² — (— 20/c²) = 0

°raz

oblicz;

amy wyznaczniki

6 — 4/c 15 — lOAc

= —60fc —( — 60/c) = 0,

2k 6 5k 15

= 30fc —30fc = 0.