089 2

176 IX. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe

Gdy zmieniać się będą wartości x,, x₂, ..., x„, wówczas w zależności od nich zmieniać się będą wartości y₂, y₂,

Przekształcenie postaci (9.9.1) wyrażające zmienne y_l, y₂, y_n za pomocą zmiennych Xj, x₂, ..., x„ nazywamy przekształceniem liniowym punktów o współrzędnych (Xi, x₂,..., x„) (tzw. przestrzeni n-wymiarowej) w punkty o współrzędnych (y₂, y₂,..., y„) (tejże przestrzeni).

Przekształcenie to da się zapisać w postaci jednej równości macierzowej

	^al2 •	• ^aln				~y i
«21	a22 •	■ a2n	■	X2	=	yi
_fl»l	^an2 •	■ ^am_				_ yn_

albo jeszcze krócej:

VVX = Y,

gdzie W jest macierzą współczynników, X jest macierzą kolumnową zmiennych x₁,x₂, ..x„, a Y - macierzą kolumnową zmiennych y_L, y₂, ..., y_n.

Załóżmy teraz, że przekształcenie liniowe (9.9.1) jest nieosobliwe, tzn. że macierz W tego przekształcenia jest nieosobliwa, i pomnóżmy lewostronnie obie strony ostatniej równości macierzowej przez macierz odwrotną W¹; wówczas otrzymamy po zastosowaniu własności (9.7.10) i (9.7.6):

X=W^_1Y.

Ponieważ macierz W*¹ jest wymiaru n x n, a macierz Y wymiaru n x 1, więc prawa strona jest macierzą wymiaru nxl, tzn. kolumnową. Ostatnia równość po zastosowaniu wzoru (9.7.11) i pomnożeniu macierzy przyjmie postać

Wn

w ^yi

Ki

W

,^21 , ^ ⁺lv^y2+--⁺lv^y

n

kl

W₂₂    w_n2

⁺~w~^y2+'"⁺~w^y

n

W_ln w_2n    w_nn

— y_l+—^y2+...+~^yn

Ale z równości dwóch macierzy wynika n następujących równości:

^21    W_ml

^l~~W^yi+~W ^{y2 +} -⁺~w^yn'

(9.9.2)

^wi₂ W22    Ki

^ = l_ł7>'i⁺-^3'2 + -..+_irk„.

W₂„    ^ K„

^x-—w^yi+~W ^{yz +} '" ⁺ ~w ^y"'

Przekształcenie to nazywamy przekształceniem liniowym odwrotnym względem przekształcenia liniowego (9.9.1).

Z postaci (9.9.2) wnioskujemy, że macierz przekształcenia liniowego odwrotnego jest macierzą odwrotną względem macierzy danego przekształcenia liniowego.

§ 9.10. MACIERZ ORTOGONALNA

Zacznijmy od przykładu. Z geometrii analitycznej płaskiej wiemy, że współrzędne punktu (x, y) po obróceniu go dookoła początku układu współrzędnych o kąt a w dodatnim zwrocie zmienią się na (*!, y,)> przy czym

x, = x cos a — y sin a, y₁=xsina+ycosa.

Jest to przekształcenie liniowe punktów płaszczyzny (x, y) na punkty tejże płaszczyzny o współrzędnych (x_l5 yj (por. § 9.9). Macierz tego przekształcenia liniowego

.    Tcosa — sin aj

(9.10.1    W= .

'    [_sm a cos aj

jest macierzą nieosobliwą, gdyż

, Tcosa — sinaj ,    . ,    , , ~

detW= .    =cos^za+sin^za = l #0.

|_sin a cos aj

Tworząc macierz dopełnień algebraicznych macierzy W, a następnie z niej macierz przestawioną, otrzymujemy macierz dołączoną W^D, a ponieważ mnożenie jej przez 1/det W = 1 nie dokona w niej zmian, więc macierzą odwrotną W^-1 będzie macierz

(9.10.2)

_w_₁_[ cos a sinal [_ — sin a cos aj ‘

Ale macierz ta jest jednocześnie macierzą przestawioną (transponowaną) macierzy W:

(9.10.3)    W^_1 = W^T.

Jest to prosty przykład tzw. macierzy ortogonalnej.

Przejdziemy do rozważań ogólnych. Rozpatrzmy macierz

	’«X1	^al2 •	• <*1«
A =	^fl21	^a22 •	■ a2n
	<*ni	a„2 •	■■ ^ann

^cierz A nazywamy macierzą ortogonalną, jeśli odwrotna do niej macierz A ¹ równa się Macierzy przestawionej A^T, tzn. gdy

⁽⁹-l0.4)    A"¹ = A^t.