rozniczki03

C. Równanie liniowe.

Znaleźć rozwiązanie podanych zagadnień początkowych oraz podać ich przedziały na których są określone.

i■ y'+ ytgt = ztr_t, y(o) = o

2.    y' = 2y + e¹ - t, y(0) = \

3.    ty' + y = te^t2, y( 1) = 2

4.    ty¹ + 2y = cos t, 2/(f) = 0

5.    y' = 2ty + 3tV\ 3/(0) = 1 6- ty' + y — ty/t, 2/(1) =2

D. Równanie Bernoulliego.

Rozwiązać podane równania.

i- y' + y = y²

2.    dy = (?;V - y)dt

3.    2/'-f = -2i

»    2    v

4.    t V - 2ty = ?/³

5.    (1 + t²)2/' - 2ty = 42/(1. + t²)arctgt

6.    Rozwiązać zagdnicnie początkowe Cauchy’ego.

a)    x' - x = tx⁵ A x(0) = a/2- Odp. x(t) = (| — t)~* dla t < |.

b)    te' — x(l — tx) =0Az(l) = 1. Odp. x(t) = _f_|_nt dla t € (0,e).

E. Znaleźć rozwiązanie szczególne poniższych równań. Korzystając z niego sprowadzić równanie Riccatiego do równania liniowego i je rozwiązać.

167    x²y' + xy + x²y² = 4 odp. y = § +    2/ = f

168    32/' +1/² + Jr = 0 odp. 2/ = i + _Caej_a+X; V=~

169    xy' — (2x 4-1)2/ + y² = —x² odp. y = x + y = x

170    2/ - ‘2xy + y² = 5 - x² odp. y = x + 2 + _Cet_₁; 2/ = a; + 2

171    y' + 2ye^x —y² — e^2x + e^x odp. y = e^x — y = e^x

3