93121

Układy równań liniowych

a) Znaleźć równanie prostej, która przechodzi przez punkty (1, 4) , (2, —3) .

a)    Znaleźć trójmian kwadratowy, który przechodzi przez punkty (—1, 2) , (0, —1) ,(2,4) .

b)    Wyznaczyć współczynniki a, b, c funkcji y * a2*+b3^x+c4*, która w punktach —1, 0,1 przyjmuje odpowiednio wartości |, 1,1.

c)    Funkcja y (x) = A cos 2x ♦ B sin 2x spełnia równanie różniczkowe y” —6y° + 13y ■ 25 sin 2x. Wyznaczyć współczynniki A.B.

67. a) Dla jakich wartości parametru m, podany układ jednorodny ma niezerowe rozwiązanie

mx + y + 2z =0 2x — y + mz = 0 mx + y + 4z =0

Wielomiany

68.    Dla podanych par wielomianów rzeczywistych lub zespolonych obliczyć 3P — Q, P ■ Q, P-:

a)    P (x) * x² — 3x ♦ 2, Q (x) = x⁴ — 1;

b)    P (z) « z² — 1 ♦ 4i, Q (z) - z¹ + (1 — i) z² ♦ 5 .

69.    Obliczyć iloraz wielomianu P przez Q oraz podacrcszte z tego dzielenia, jeżeli:

a)    P (x) ^a X⁴ — 3x³ — 2x² * 1 lx — 15, Q (x) * x³ — 2x ♦ 5;

b)    P (x) ^a X⁴ + x + 16, Q (x) ^a X² — 3x + 4;

c)    P ■ z³ + iz ♦ 1, Q (z) ■ Z² — i.

70.    Znaleźć wszystkie pierwiastki całkowite podanych wielomianów: a) x³ ♦ 3X² — 4; b) X⁴ — 2x³ + x² — 8x — 12; c) X⁴ — x² — 2 .

71.    Znaleźć wszystkie pierwiastki wymierne podanych wielomianów: a) 6x³ — 5x3 — 2x ♦ 1; b) 3x³ — 2x» ♦ 3x — 2; c) 6x⁴ + 7x3 ♦ 2 .

72.    Wyznaczyć pierwiastki rzeczywiste lub zespolone wraz z krotnościami podanych wielomianów: a) (x — 1)

(x ♦ 2)³ ; b) (2x ♦ 6)² (1 — 4x)⁵ , c) (Z² — 1) (z² ♦ l)³ (z² + 9)⁴ .

73.    Nic wykonujacdzielenwyznaczyc reszty z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q, jeżeli:

a)    P (x) - X⁸ ♦ 3x⁵ ♦ X² ♦ 4, Q (x) ■ x² — 1;

b)    P (x) » X²⁰⁰⁷ ♦ 3x ♦ 20 08, Q (x) » X² ♦ 1; c*) P (x)

« x2oo6 +    — 1, Q (x) ■ x⁴ + 1; d*) P (x) - X⁴⁴⁴ ♦ X"¹ +

x — 1, Q(x) * (x² ♦ l)² .

74.    Pokazać, ze jeżeli licaba zespolona Zi jest pienviastkiem wielomianu rzeczywistego P, to liczba zl także jest pierwiastkiem wielomianu P. Korzystając z tego faktu znalezc pozostałe pierwiastki zespolone wielomianu P (x) * X⁴ — 4x³ + 12x² — 16x ♦ 15 wiedząc, ze jednym z nich jest Xi ■ 1 + 2i .

75.    Podane wielomiany rozło^Ayc na nierozkładalne czynniki rzeczywiste: a) x³ —

27; b) X⁴ + 16; c) x⁴ + X² + 4; d*) x* ♦ 1 .

76.    Podane funkcje wymierne rozłozyc na rzeczywiste ułamki proste:

J 2x+5 b)x+9 _c) 3xi+4x+3 d) xⁱ—2x^—7x+6