238(1)

Wyznaczywszy równania krzywych całkowych przechodzących przez punkty B_y, B₂, B_} sporządzamy ich wykresy (rys. 215). Przedstawiają one współśrodkowe elipsy, o osiach leżących na osiach układu współrzędnych.

Sprawdzić, że dana funkcja jest całką podanego obok równania:

1061.    y = Ce~^2x; y'+2y = 0

1062.    y = Cyx+C₂x²; x²y"-2xy'+2y = 0

1063.    x²+2xy = C; (x+y)dx+xdy — 0

cps

1064. j= ?\nt+Cyt²+C₂t+C₂\    t-jp = 2

1065*. y-x+Cy\ny = C₂; yy"-(y')²+

+ (y'V = 0 § 2. Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

Równanie różniczkowe pierwszego rzędu nazywa się równaniem o zmiennych rozdzielonych, jeżeli funkcje P i Q można rozłożyć na czynniki, z których każdy zależy od jednej tylko zmiennej

fi{x)fi(y) dx r<pi(x)cp₂(y)dy = 0    (*)

Dzieląc to równanie przez f₂(y) •    rozdzielamy zmienne

/.(*)

dx-

<pi(y)

dy = 0

Po rozdzieleniu zmiennych, kiedy już każdy z wyrazów równania zależy tylko od jednej ze zmiennych, całkę ogólną równania znajdujemy całkując poszczególne jego wyrazy

c Mx) J (py(x)

PzO)

fiiy)

dy = C^l>

>) Jeżeli <p, (x,)=0 (albo/₂0',)=0), to x=x, (y=yD będą także całkami równania (*), które można zgubić przy rozdzielaniu zmiennych. W dalszym ciągu badanie takich całek osobliwych będziemy pomijać.

1066. Znaleźć całki ogólne następujących równań:

1)    (a:+ l)³ć/y— (y—2)²dx = 0

2)    sec²;tsecydx = —ctgx siny dy

3)    Wxy+ ]fx)y'—y = o x = z

4)    2^x+y+3^x~^2> ■ y = 0

Rozwiązanie: 1) Rozdzielamy zmienne, dzieląc obie strony równania przez    mamy

__^- = 0

(y-2)²    (*+l)³

Całkując obustronnie, otrzymujemy szukaną całkę ogólną

/ 0-2)-V(y-2)-/(x-rl)-³i(A:+l) = C

__1    ,    ¹ -c

y-2 ¹ 2(x-H)²

2) Aby rozdzielić zmienne, dzielimy wyrazy równania przez sec>'ctgx. Mamy

sec².vtgA-£Źx+sin^cos>’Jy = 0

Całkując powyższe wyrażenie, otrzymujemy

j tg.\-^tg.v4- ) sinjć/siny = C

y tg² A-+y sin²j> = y C,; tg²A+sin²j = Ci

3) Wyraźmy pochodną / przez różniczki zmiennych, y' —

i mnożąc obustronnie dane równanie przez dx, rozłóżmy następnie współczynnik przy dy na czynniki. Otrzymamy

(y7+l) 1 xdy—ydx = 0 Możemy teraz rozdzielić zmienne

\x

dy--L dx = 0

¹ znaleźć całkę ogólną

J" ²+y| dy— | x ² dx = C;    2 y +ln|y| — 2 \fx = C

479