32883 skanowanie2 (4)

1.9.    Rozwiązać podane zagadnienia początkowe dla równań różniczkowych jednorodnych oraz wyznaczyć przedziały. na których są one określane:

•) (tHy^dt-itydy-O, *1)-VŻ b)ty'-t4jlh v(l) = 0;

c) jr'a jA •»•!;    d) (/-*)*-<*%■* y(l) = 3.

1.10.    Znaleźć krzywe, dla których trójkąt OSY^- (rysunek) utworzony przez oś Oy. styczną i wektor wodzący punktu styczności jest równoramienny (o podstawie OY).

Lista trzecia

1.11.    Rozwiązać podane równania różniczkowe liniowe niejednorodne:

all^łyaiiDt;    b) y' 4 2ty — c~**;    c) ty/ - 2y * f*cost;

d) <y'-2y-4ć⁴;    e) ty + e‘ - ty' = 0;    f) (2t + l)y' - 4t + 2y.

1.12.    a) Załóżmy, że *Wt) jest rozwiązaniem równania różniczkowego liniowego niejednorodnego (LN) y' + p(0v " fl(0t ^a funkcja ^(t) 96 0 rozwiązaniem części jednorodnej tego równania (LJ) y* + p(t)y = 0, gdzie funkcje p(t), g(t) są ciągłe na przedziale (a, b). Pokazać, że każde rozwiązanie y(r) równania niejednorodnego można przedstawić w postaci y(t) - C<p[t) 4 ą>(t)> gdzie C jest odpowiednio dobraną stałą, rzeczywistą.

b) Załóżmy, że funkcje rj(t), \(>(t) są różnymi (1j(t) pi ip(l)) rozwiązaniami równania różniczkowego liniowego niejednorodnego (LN). Pokazać, że każde rozwiązanie y(t) równania niejednorodnego ma postać y(ł) m C(rj(t) - yp{t)) 4 7j(t), gdzie C jest odpowiednio dobraną stałą.

1.13.    Wyznaczyć rozwiązania podanych zagadnień początkowych dla równań liniowych niejednorodnych oraz podać przedziały, na których są one określone:

*•) y' - y - 1) y(3)-3;    b) y' ■* (y 4 l)stat, y(r₀) = yoi

c) ty^/4y«t41, y(l)*0;    d) j^sintcoBt*y4słn^st, y (£)■().

1.14.    Dla równania liniowego niejednorodnego y' 4 py = o(t), gdzie p € R wyznaczyć rozwiązanie ip{t) w podanej postaci, jeżeli:

a)    p= 4, q(t) = t⁷ — 1, v>(t) = At² + Bt + C;

b)    p - 1, q(t) = t⁴, <p(t) - At* 4 Bt* 4 Ct*4 Dt 4 E\

c)    p - -3, q(t) ■ 4tV‘, *(t) * (At² 4 Bt 4 C) s"¹;

d)    p m -1,. q(t) = te*, f{t) * (At 4 B)tó*;

e)    p m 2, g(t) = cos3t. = -4sin3i + Bco63t;

f)    P ■ “2, 2słnj-ooe|, ^(0 = -4sin^ 4 Scos^.

1.15.    Znaleźć rozwiązanie równania różniczkowego liniowego niejednorodnego t²y' 4 y - (t² 4 1) e* spełniające

warunek lim y(t) = 1.

1—00

• 1.16. Znaleźć równanie krzywej przechodzącej przez punkt (1,1), dla którą) pole trójkąta OST (rysunek) utworzonego przez oś Ot, styczną i wektor wodzący punktu styczności jest stale i równa sią 1.

2