79 (184)

166

* P«ykład 13.4

Przekształcenie liaj>lace'a

Metodą operatorową rozwiązać podane zagadnienie początkowe dla układu równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach:

, *(0) = 1, y(0) : 2.

f x' = 3z + y + t,

\ y' = 2x + 2y - 1t,

Rozwiązanie

Niech (z(/),y(t)) będzie rozwiązaniem rozważanego zagadnienia początkowego. Wtedy

f x'{t) = 3x(t) + y(t) + t,

\ y'(t) = 2x(t) + 2y(t) - 2i.

{

Transformując obie strony powyższych równości mamy

C {x'(t)} = C{3x(ł) + y(t) + t} ,

C{y'(t)) = C{2x{t) + 2y(t)-2t) .

Korzystając z liniowości przekształcenia Laplace’a dostaniemy

r £{*'(!)} = 3£ {*(!)} + £{y(<)} + £{«}.

I £{»'(<)} = 2£{r(t)} + 2£{y(t)} - 2£{/}.

Przyjmując oznaczenia ^(s) = £{r(ł)}, Y(s) = £{y(<)} oraz korzystając ze wzoru na transformatę pierwszej pochodnej, możemy powyższy układ zapisać w postaci

»X(s) - x (0) = 3X(s) + y(a) +

sY(s) - y(0) = 2X(s) + 2Y(s) -Po uwzględnieniu zadanych warunków początkowych otrzymamy

Stąd

(s-3)X(s)

y(») =

5² + l

-2 X(s) + (s-2)T(s) =

/    4-

2s -4 s² — 5s + 4

2s² -2

Y(s) =

Rozkładając funkcji •AT(s) oraz Y(s) na ułamki proste mamy

Yt \ -    ^1    1    . ^4    1

^    3j-1 ⁺ 3j-4’

Y(*) = TT T "h T"

3 s - 1    3 s — 4

Korzystając teraz z tablic oraz liniowości przekształcenia Laplace’a mamy

1	1		4	1
3 3 - 1			3 3-4
2	1	+	4	1
3 s - 1			3 3-4

Trzynasty tydzień - zadania

167

Zatem szukane rozwiązanie zagadnienia początkowego dane jest wzorem

*(‘) = -r^,+r⁴‘-

y(0=

Zadania

O Zadanie 13.1

Metodą residuów wyznaczyć oryginały, których transformatami są podane funkcje:

a) F(s) =

(s* + 1)

2 >

b) F(s) =

-4

(s² + 4)

2 »

c) F(s) =

s — 1

s{s² + 2s + 2)² '

O Zadanie 13.2

Sprawdzić, czy podane funkcje są transformatami Laplace’e oryginałów okresowych. Znaleźć te oryginały i naszkicować ich wykresy:

a) F(s) c) F(s)

A(l-e-’)².

s 1 — e~²’ '

1 ę~^2xi +e~*³ S² + 1    1 — e~²**

b) F(s) =

1    - l^e~^2S ~ ^e_35

2    2_.

1 - e-³‘

O Zadanie 13.3

Metodą operatorową rozwiązać podane zagadnienia początkowe dla równań różniczkowych:

a)    y' + V = sin t, y(0) = 0;

b) y"-y'-6y = 2, y(0) = 1, t/(0) = 0;

c)    y" + 4y' + 13y = 2e-‘, y(0) = 0, y'(0) = -1;

d)    y" — 2y' + y = 1, y(0) = 0, 1/(0) = 1.

O Zadanie 13.4

Metodą operatorową rozwiązać podane zagadnienia początkowe dla układów równań różniczkowych:

x(0) = y(0) = 1; ^z(0) = 2, y(0) = 3;

^a)

b)

c)    <

x‘ = -y, y' = 2x + 2 y,

x' + 2y = 3<, y'-2x = 4,

x' = y- z,

y' = x + y, x(0) = 1, y(0) = 2, z(0) = 3. z' = x +z,