74 75 (13)

Przekształcenia liniowe

Ósmy tydzień

Podstawowe określenia (3.1). Jądro i obraz przekształcenia liniowego 1 (3.2),_

Przykłady

• Przykład 8.1

Uzasadnić liniowość podanych przekształceń przestrzeni liniowych:

a)    L : R² —► R³, L(x_ty) = (* + 2y, * - y, *);

b)    L R² —- R², L jest symetrią względem osi Oy\

c)    L : R? —♦ R³ i jest rzutem prostokątnym na płaszczyznę xOz\

d)    l : fl|r] —- J2[r], (Z,p)(x) = rp'(i) + p(l) dla p 6 H[x] oraz z 6 R\

e)    L Ct[0,l)) —C((0,1]), (/-/)(x) = 2/(^) dla /€ C([0,1]) oraz z 6 [0,1].

Rozwiązanie

Niech U, V będą rzeczywistymi przestrzeniami liniowymi. Zgodnie z definicją, przekształcenie I, V — V jest liniowe, jeżeli dla dowolnych wektorów u₂ e V oraz dla dowolnych liczb Q_:, a₂ € R zachodzi zależność

£(q,k, + o₂fi₂) = ajL(ui) + <*2L(*2).

a)    Niech ij = (z:,_yi), u₂ = (x₂,y₂) € R² oraz nicch *»» *² € R Wówczas £ (on ii + 07 i₂) = L(o\X\ + a₂x₂, Oifi + ^zfz) ⁼

= [cnx₂ + o₂r₂ + 2(o,yi + <*zyz) ,    + *3*2 - <*iyi - <*₂y2, ain +0-2x2)

= Ol (z 1 + 2yi_f si - Jft.ri) +    (^Z2 + 2y2,ra ” ^y2,X2'

= oi/. («i) + a₂i{u₂) , więc przekształcenie Z, jest liniowe.

b)    Przekształcenie L można zapisać wzorem L(x,y) — (“*• V) *' odobnie jak poprzednio

Ósmy tydzień - przykłady

«.—.w* srtSfiSKCsSt

SSSStt

75

możemy napisać, ze

7 (aj u, + <r₈«a) = L(a;ii + <*2*2,Oiyi + <*₂j&)

= (—<*1X1 - <*₂£₂,<*iyi + oriKa)

= aj (-zi,yi) + a₂(-r_2ly₂) = <*i7,(Si) + 02M*²)

Przekształcenie L jest zatem liniowe

c)    W tym przykładzie L(r,y,r) = (z.G.r) Niech Hj =(xi,yi,zj), *2 = (x2iStei*2) € fi¹ oraz niech 02 € i?- Wtedy

L(a, iii + o₂u₂) = A(o]Z 1 + £>2Z2,<»iyi +<*21(2,01X1 +02*2)

= (o 1 X | + 0212,0, Ol 21 + <*2*2) = Ol (rj.O, 21) + 02 (^r2’®« ²² )

= a ;L( fi|) + 02 X. (tt₂) •

Także to przekształcenie jest liniowe.

d)    Przekształcenie L jest liniowe, bowiem dla p,, p_Q £ fi(x] i dla 01 02 € 72 oraz dla. dowolnego argumentu 1 6 ił prawdziwe są równości

L(oip, -I-02P2H*) = ^(oiP, + o₂p₂)^/(*) + (oipj + o₂p₂)(l)

= roip',(x) + ro₂pi(r)-ł-oip,(l) + <*₃p₂(l)

= o, (zp\[t) + p,(l)) + o₂ (rp₂{z) + p₂(l))

= oi^(p,)(z) + o ₂7(p₂)(r) = (ojl (pj + a₇L(Pi))(^z)

o) Liniowość podanego przekształcenia wynika z podanych niżej równości.

L (oj/, - 02/2) (z) = 2 (oi/j + 02/2)

= ^2al/l    +202/2 (j) =OiI(/₁){z) + <*2^(/₂}(*)

= (orilOD + cr,! (/₂))(*).

Równości te są prawdziwe dla dowolnych funkcji /_lt/₂ 6 C([0, l]), dla dowolnych liczb <*1, o₂ € R 1 dla dowolnego argumentu z € [0,1].

• Przykład 8.2

Uzasadnić, ze podane przekształcenia przestrzeni liniowych nie są liniowe:

a)    L : fi — fi, L(x) = |x|;

b) L : jR³—'fi³, £(x,y, z) = (xy, r,z);

c) L : R⁷ —►fi³, I(z.y) = (2r - y,x + l,y- 1);

d)    L fi² —► fi², L jest obrotem o kąt * w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara wokół punktu (1,2);

e)    i : fi³ —- fi³. L jest rzutem prostokątnym na prostą x = 1, z — 0;

X

f)    L : fi₂(x] —► fi(x], (Lp){x) = ^ p(f)p'(0 ^dla P € *i[*] ^oraz 1 € fi;

o

g) L: C(fi)—«C(fi), (/>/)(r) = /²(x) dla/€ C(fi)oraz r € fi