223427640

2.8 Zestawy zadań 2.8.1 Algebra liniowa

248. Przekształcenie liniowe <p : IR¹ —» R² określone jest wzorem:

(p([xi,x₂, x₃]) = [5xj - 4x₂ + 3x₃, 9xi - 7x₂ + 4x₃]

Wyznaczyć jedną z baz przestrzeni ker<p.

249.    Znaleźć po jednej bazie jądra i obrazu przekształcenia liniowego <j> : R³ —> R¹, którego wartość w dowolnym punkcie [xi,X2,x₃,X4] G R³ jest równa:

a)    [xi + 5x₂ + 4x₃ + X4,3xj + x₂ + 2x₃ + X4,5xi + 4x₂ + 5x₃ + 2x4];

b)    [xi - x₂ + x₃ + x₄, Xi + 5x₂ - 4x₃ + 3x₄, 3x₂ + 4x₃ + x₄];

c)    [xi — 4x₂ + 5x₃ + 3x₄,    ~ 4x₂ + 6x₃ +    5x₄, Xi — 4x₂ + 7x₃    +    7x₄];

d)    [xj — 2x₂ + 4x₃ — 3x₄, Xi — 2x₂ + 4x₃ —    3x₄,2xi    — 4x₂ + 8x₃    — 6x₄];

e)    [2xi — 4x₂ + 3x₄, 4xj — 8x₂ + 5x₄,5xi — 10x₂ + 8x4].

250.    Zbudować tabelki działań w podanej przestrzeni ilorazowej:

a)    Z³/W, gdzie W = {[0,0,0], [1,0,0]}

b)    Zgdzie W =lin([l, 1,0,0], [0,0,1,1])

c)    Zl/W, gdzie W =Un([l,2])

d)    Z \/W, gdzie W =Un([l, 1,0], [0,0,1])

251.    Opisać warstwy przestrzeni wektorowej V względem jej podprzestrzeni W. Korzystając z tego opisu, udowodnić związek V/W = V', jeśli:

a)    V = R°°, W = {(o„)~ _x    € R°° : a₂ = 0},    V' - R;

b)    V = R⁰⁰, W = {(a„)^i    G R°° : a_x = 4a₂    = 5a₃},    V' = R²;

c)    V = 0(0,1), W = {/ e 0(04) : ff(x)dx = o},V" = R;

d)    V = 0(0,00), W = e C₍o,co) : A /(n)=oj,V" = R“;

n£N    ^J

e)    V = M(2, R), W = {[ay] G M(2,R) : oi₂ = a₂i = 0}, V' = R²;

f)    V = M(n, K), W = {A G M(n, K) : trA = 0}, V' = K.

2.8.2 Potęgi i pierwiastki liczb rzeczywistych Zadania zamknięte.

1. Jeżeli a = 6¹² : 6³, b = (6¹)³, c = (6 • 6²)¹ i d = (6³ : 6²)¹, to

A) d < a < c <b, B) d < a < b < c, C) a < d < c <b,    D) a < d < b < c.

A) 27^-3 •

Anna Nowrot science4u.pl

1

Dla a = 2\/3 — 5 i b = \/8 — 2\/6 wartość wyrażenia a² — b\/2 wynosi:

2

   Która z podanych liczb jest największa?

3

A) 33 - 24^3, B) 33 - 16v/3, C) -17 + 4^3, D) -17 - 16^3-