algebra zestaw 7

Zestaw 7

1.    Sprawdzić, że odwzorowania są liniowe:

a f :R³ ->R², gdzie f(x,y,z)=(-x+y+z,x-y+z) -

* **

Ib g-'R² ->R³, gdzie g(x,y)=(y,x,x+y)

c)    h:R⁴->R², gdzie h(x₁,x₂,x₃,x₄)=(3x_l+2x₂-3x₃,x₂+x₃-x₄)

d)    k: R² -» R², gdzie k(x, y) = (2 x+ y, y- x)

e)    m:R³->R⁴, gdzie m(x,y,z) = (x-y + 2z,2x+ 3y+ 4z,x+y+ 2 z, x+ 2z)

Wyznaczyć Kerf, Imf, podać ich bazy i wymiary.

Wyznaczyć Kerf(g), Imf(g), Kerg(f), Img(f) oraz ich bazy.

2.    Znaleźć macierz odwzorowania f w bazie kanonicznej M_f (k) gdy: aj f:R²->R\ f([l,l])=(0.1> f{-1,1}=(3.2)

0) f :R² ->R³, ffll,l}=(0,U) ffl-l,l}=(2,l,0)

.

V

3.    Niechf(x,y,z)=(2x+y-z.x+z.y+2z,x+y). Znaleźć M_f(B_R3,K_R4) gdzie

b_rJ={[u,i],[llo].[iao]}.

4.    Niech g:R² ->R³ i g([l,2]) = (u,l)i g([o,l])= (l,0,l). Znaleźć M₈(b_rI,B_rJ) jeśli B_Ri={M].[-l,2]}, B_rJ = {[l.2,o].[l,l,l],[o,0,l]}

: 5. Niech M_f(b_r};B_r,)= B_R2={[L2]40J]}.

Niech M_f (b, b) =

1 0 2 2 1 0

gdzie B = {[l,l].[-U]}.

.Znaleźć f([l,0,2])jeśli B_rJ = {[1,2,0].[1,1,0],[0,0,1]},

a)    Znaleźć macierz odwzorowania f w bazie kanonicznej K,

b)    Niech v = [2-1]. Podać współrzędne wektora f(v) w bazach B i K.

7.    Stosując metodę ortogonalizacji Schmidta znaleźć ortonormalną bazę podprzestrzeni przestrzeni euklidesowej E „ generowanej przez wektory:

a)    (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)

b)    (1,2,2), (2,1,1), (1,0,1)    c) (1,2,-1), (1,0,1), (1,1,1)

8.    Zbadać określoność formy kwadratowej i sprowadzić ją do postaci kanonicznej:

a)    f(x,y,z) =x² - y² + 4xz

b)    f(x,y,z) = x²-2y²+ z² +4xy - 8xz - 4yz

c)    f(x,y,z) = 4x² + 3y² — z² — 12xy + 4xz — 8yz

d)    f(x,y,z) = -x² -y²-7z²+16xy+8xz+8yz

e)    f(x,y,z) = 4xy+2xz

f)    f(x,y,z) = 4x -4y²+3z²

g)    f(x,y,z) = 2x²+3y²+4z²-2xy+4xz-3yz

h)    f(x,y,z) = -x²-y²-z²

i)    f(x,y,z) = 3 x²+2z²+4xy+4xz-3 xz-yz

j)    f(x,y,z) = 2x²+2y²+2z²+2xy+2xz-2yz