Algebra

Zestaw 1

1    Sprawdzić własności następujących działań:    ®

a)    x»y = yj\² + y² dla x,y€R

b)    xoy = V*² +y² dlax,yeR₊ v

c)    n«>m = n"‘ dla m,n c N

d)    x°y = x^Jy+xy^: dla x,yeR

c) x«y-xł-y>/2 dla x,ycC

0 (a.^ł>)«-(c.d)= (ac.bd) dla a.b,c,deR

g)    (a.bj {c.d)= (a+d.b) dla a.b.c.deR

h)    (a,l)o(b.l)= (a+b,l) dla a.beR

i)    (a,b)o(c,d) = (a+c.b+d) dla a,b,c,deR ^

2    Wykazać, że następujące par)’ są przestrzeniami metrycznymi    _

«•) (r*\pi). gdzie Pi((x,.yiM^x2.yj))"V(^xi“^xj)^♦(yi-y*)^J

h) (R².p,), gdzie Pj((x₁.y₁Mx₂.yj)) = |x_l-x,| + ;y_l-yj|

c)    (R².p,). gdzie P,((x_l.y,).(x_ł.y_j))=max{|x₁-xj|.|y_l-yj|}

d)    (R..p₄) gdzie p₄(x.y%jlog^ *

e)    (X.pJ. gdzie p_}(x,y)=|^'^a *^_> v

dla x*y    , ^

\    _y , |n- m|

. ₍s ,\ ) gdzie    - -------

n- m    /

g). (R^:.p7). gdzie p₇((x|.y_t).(xj.yj))= 2|x,-Xj| + 4|y,-yj|    : i

n) (r^j.p,). gdzie pg((x|.y,)L(x_a,y,))s •/K^xTj + /[y^y_J|

• Niech O_p (a. r) oznacza okrąg w przestrzeni metrycznej (X.pj) o »odku w punkcie a i promieniu r Narysować O,, (2,4). O_p(l.5). 0„. ((1.2),3)l' O_p<((l.2X3)

4    Jaki kąt tworzą wektory a) (i.2.0.-3] i [0.-2,t.l] b) [3.1.2,0,5] i [-1,2,1,3.0] ⁰

5    Dla jakiej wartości parametru ,.k‘‘ wektory są 1:

a) (l.3.4,— k] i [2k.0.1.l) b) [k^:-1.3.4.o] i (l.k,3k,lj c)a = 3e, + 2ke_; 5kc, 1 b = ke₂-2e, + c₄-c₅

6    Dla jakiej wartości parametru ..k" wektory są j|:

a) (k.l.lj i |2.k*'.2)    b) [k,1.2k] i [-!.2.k)

7    Sprawdzić liniową niezależność wektorów

a)    (I.3.- ’1. [Z.O.lj. [-I.I.O] w R^y

b)    [3.-1.2). (2.1.0], [6.3.0] w R³ t z

c)    (2.3]. [l.—l], [5.2] w R^:

d)    (2,1,-1,o], [3.O.2.-1], (5.1,0,2] w R*

e)    dla jakiego ..k" następujące wektory są liniowo niezależne w R^ł: o (k,l.-2].[2,k+l.0). [3.2.1]

a [2,k+ 2.k], |k^J. k ij, [0.2,k]