ALiG Zestaw 1

Zestaw 1

1.    Sprawdzić własności następujących działań:

♦ a) x o y = yjx² + y² dla x, y e R

• b) x o y = -yjx² +y² dla x,y € R₊

c)    nom = n^m dla m,neN

d)    x° y = x²y-f-xy² dla x,yeR

e)    xoy = x+yV2 dla x,yeC

f)    (a,b)o(c,d)= (ac,bd) dla a,b,c,deR

#    g) (a,b)©(c,d) = (a+d,b) dla a,b,c,deR

h)    (a,l)o (b,l)~ (a+b,l) dla a,beR

i)    (a,b)o(c,d)= (a+c,b+d) dla a,b,c,deR

2.    Wykazać, że następujące pary są przestrzeniami metrycznymi:

a)    (R²,Pi), gdzie p!((x,,y,X(x₂,y₂)) = V(^xi^_x2)² + (yi“Y2)²

b)    (R²,p₂), gdzie p₂((x_t,y,X(x₂,y₂)) = |x_x- x₂1-1-|y_t- y₂1

c)    (r²,P₃), gdzie p₃((xj,y_tX(x₂,y₂)) = max{|x₁-x₂|,|y₁-y₂[}

log-

y

0    dla x = y

1    dla x ^ y n- mj

n- m

d) (R ₊ ,P₄X gdzie p„(x,y) = e; (X,p₅), gdzie p₅(x,y)=|

A ĆNT ^    \    „A-

*•/    Ó^U1

g)    (r²,p₇), gdzie P7((^xi,yiM^x2>y2))=²i^xi-^x2|⁺⁴|yi-y2|

h)    (R²,PsX gdzie Ps((^xl,yiM^x2>y2))=Vl^Xl^_X2|⁺Vl>'!^_>'2l

3.    Niech O_p (a,r) oznacza okrąg w przestrzeni metrycznej (X,Pj) o środku w punkcie a promieniu r. Narysować 0^(2,4\ 0_P6(ł,5), O_p?((l,2),3), 0_Ps((l,2),3).

4.    Jaki kąt tworzą wektory/a) [l ,2,0-3] i [0,-2,U] b) [3,1,2,0,5] i [-1,2,1,3,0] ?

5.    Dla jakiej wartości parametru „k” wektory są 1:

a) [l,3,4,-k] i [2k,0,l,l]    b) lk²-l,3,4,oJ i [l,k,3k,l]

c) a = 3ej + 2ke₂-5ke₃ i b = ke₂+ 2e₃ + e₄-e₅

6.    Dla jakiej wartości parametru „k” wektory są ||:

a) [k,l,l] i [2,k+1,2]    b) [k,l,2k] i [-l,2,k]

7.    Sprawdzić liniową niezależność wektorów:

a)    [l,3,-l], [2,0,l], [-1,1,0] w R³

b)    [3,-l,2], [2,1,0], [6,3,0] w R³

c)    [2,3], [l,-l], [5,2] w R²

d) [2,1,-1,0], [3,0,2,-1], [5,1,0,2] w R⁴

e)    dla jakiego „k” następujące wektory są liniowo niezależne w R :

□    [k, 1 ,—2], [2,k+l,o], [3,2,l]

□    [2,k+2,k], [k²,-k,l|, [o,2,k]