algebra

Zestaw II

1.    W zbiorze N określamy działania: a* b = a^b, a°b = ab. Sprawdzić rozdzielność (lewo i prawostronną):

a) działania * względem działania o; b) działania ° względem działania *.

2.    Niech X =R\{-1} i h: Xx X -» X takie, że h(x,y) = x+y +xy. Czy h jest działaniem wewnętrznym w X? Czy (X, h) jest grupą?

3.    =    = 2ⁿ3^m,n,m g z}. Czy (A, •) jest grupą?

4. Niech G = [0, 1) i e G: x ° y \-

x + y jeżeli x + y < 1

x + y -1 jeżeli x + y 1

Wykazać, że (G,®) jest grupą.

5. Niech L =    f(x) = ax+b,a*Ó}. Czy (L, °), gdzie ° oznacza składanie, jest

grupą? Czy jest to grupa przemienna? Wskazać podgrupy.

6.

Niech E = (-1, 1) i \fx,y g E :x* y = ———. Uzasadnić, że * jest działaniem

1 + xy

wewnętrznym w E. Zbadać własności tego działania.

7.    Udowodnić, że w dowolnej grupie (G, o) zachodzi prawo jednostronnego skracania, to znaczy: jeśli a^b-a^c, to b-c i jeśli a°b = c°b, to a = c.

8.    Udowodnić, że w dowolnej grupie (G, o) dla dowolnych a, b € G zachodzi:

(aob)~^x = b~^x oa~^x.

9.    Wykazać, że w grupie równość a² = a zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy ajest elementem neutralnym.

10.    Niech (G,°) będzie grupą i A c G. Udowodnić, że (A,°) jest podgrupą wtedy i tylko wtedy,

gdy dla dowolnych x,y e A zachodzi:    y~^x gA.

11.    Udowodnić, że jeżeli dla każdego elementu x grupy G zachodzi x² = e ( e jest elementem neutralnym), to grupa G jest przemienna.

12.    Czy odwzorowanie f: R -»R, takie, że f(x) = 2x + 1, jest homomorfizmem grupy (R, ° ) w grupę (R, *), gdy xoy = x+y-2, x* y = x + y-5. Czy jest to izomorfizm?.

13.    Niech 0(-ja) = iw + n-Ja, m,nG O, jest liczbą niewymierną}. Udowodnić, że grupy (fi(V2),+ )i (fi(V3),+ ) są izomorficzne.

14.    Udowodnić, że istnieje homomorfizm grupy (L, °) z zad.5. w grupę (R\{0}, ■).

15.    Niech (A, * ) oznacza grupę i niech a g A będzie ustalonym elementem. Wykazać, że odwzorowanie /: A —> A takie, że f(x) = a“^l *x*a jest izomorfizmem grupy A na siebie.