zadania1 (4)

Zestaw III

1.    W zbiorze Q określamy działania: a®b~a + b + l, a °b = ab +ci + b . Czy (Q, ©,°) jest

pierścieniem? Czy jest ciałem?    i ^    ^ + V - )

2.    W R² określamy działania: (x₁,y_l) © (x₂,y₂) = (-x_I^jz_r>-x₂ +, v_r),

(x_l3 Ji)°(x₂,j₂) = (XjX₂ +    + x₂_y_t) . Dla jakich p (i?²,©,°)jest ciałem? Czy

(O²,©,o) jest ciałem?

3.    Udowodnić, że (Z_modm,+,-) jest ciałem m jest liczbą pierwszą.

4.    Sprawdzić, czy odwzorowanie f :m + n-42 —>m + n-/3 jest izomorfizmem pierścienia Z( -,2) na Z( 3 ).

5.    Udowodnić, że przy dowolnym izomorfizmie pierścieni (ciał) (--4,+,-) i (5,©,°) element

taki, że y² - l_s © ł_B musi odpowiadać elementowi xsd takiemu, że x² = U + ł_d.

6.    Udowodnić, ze ciało Q (-12) nie jest izomorficzne z ciałem Q U/3).

7.    Udowodnić, że jeżeli /jest izomorfizmem grup, pierścieni, ciał, to jest tez izomorfizmem.