720154759

6 Pierścienie - wiadomości ogolne

(ii)    (—a)b — —ab — a(—b) oraz (—a)(—b) — ab.

(iii)    (ka)b = k(ab) = a(kb), k(a + b) = ka + kb oraz k(la) = (kl)a = l(ka) dla k, l £ Z.

(“) (ELi “0 (ET-i ^bi) = E"=i EJLi “i⁶J ■

Dowód, ćwiczenie    □

Uwaga 1.1.3 (dwumian Newtona). Jeśli P jest pierścieniem oraz a,b € P spełniają ab — ba (tzn. a oraz b są ze sobą przemienne), to (a + b)ⁿ = ^”₌₀    dla dowolnego n > 0.

Dowód, ćwiczenie.    □

Zestawimy teraz definicje wyróżnionych elementów zadanego pierścienia, z którymi będziemy mieli do czynienia w dalszej części wykładu.

Mówiąc dalej 'pierścień’ mamy na myśli pierścień przemienny z 1^0.

Definicja 1.1.4 (dzielnik zera, element odwracalny). Jeśli P jest pierścieniem, to element a € P* nazywamy dzielnikiem zera, gdy istnieje takie b € P*, że ab = 0. Zbiór dzielników zera pierścienia P oznaczamy D(P).

Element u € P nazywamy odwracalnym (jednością), jeśli istnieje takie v € P, że uv = 1. Zbiór elementów odwracalnych pierścienia P oznaczamy przez U(P).

Ogólnie, w pierścieniach nieprzemiennych można wprowadzić pojęcie lewostronnych (prawostronnych) dzielników zera i elementów odwracalnych. My, z racji rozważania jedynie pierścieni przemiennych będziemy operować nieco uproszczoną wersją dzielników zera i elementów odwracalnych.

Przykład 1.1.5.

(1)    Dla pierścienia (Z, +, •) mamy D(Z) = 0 oraz U(Z) = {—1,1}.

(2)    Dla pierścienia (Zg, +, ■) mamy D(Zg) = {2,3,4} oraz U(Zg) = {1,5}.

Definicja 1.1.6 (pierścień całkowity, pierścień z dzieleniem, ciało). Mówimy, że pierścień P jest całkowity (jest dziedziną), jeśli P nie posiada dzielników zera. Inaczej, pierścień jest całkowity gdy zachodzi w nim impłikacja: a,b G P,a • b = 0 => a = 0 łub 6 = 0. Pierścień, w którym każdy niezerowy element jest odwracalny nazywamy ciałem

Przykład 1.1.7. Najprostszym przykładem pierścienia całkowitego jest pierścień liczb całkowitych Z. Jest to także przykład pierścienia całkowitego, który nie jest ciałem.

Definicja 1.1.8 (homomorfizm pierścieni). Jeśli P oraz R są pierścieniami, to odwzorowanie f:P^>R nazywamy homomorfizmem pierścieni, gdy

f(x + y) = f(x) + f(y), f(xy) = f(x)f(y)    dla dowolnych x,y e P

oraz zachodzi f(lp) = Ir.

Stosujemy tu analogiczną jak w teorii grup terminologię dotyczącą monomorfizmu, epi-morfizmu, endomorfizmu czy izomorfizmu.