DSCN1098 (2)

7.49. W zbiorze liczb rzeczywistych R określono działanie * w ten sposób, że mnożenie jest rozdzielne względem * i dla każdego a e R prawdziwe są równości:

Wykazać, że działanie * jest przemienne w R, ale nie jest łączne. Zbadać, czy istnieje element neutralny działania.

7.50. W zbiorze X uporządkowanych par (a, b) liczb wymiernych takich, że a 0 określono działanie o w następujący sposób (a. b) o {c, d) = (ac. bc + d), gdzie i oznaczają zwykle dodawanie i mnożenie.

I. Wykazać, że

1) {a, b) o (1, 0) = (1, 0) o {a, b) = (a, h),

II.    Zbadać, czy działanie jest przemienne, łączne.

III.    Rozwiązać równanie: (3, y) o (x, — 1) = (y 4- lf x²).

§ 1 • Rozwiązania i odpowiedzi u. a) 73^^ b)yio>V2 ₊ V3.

^U' !J^,ech    _ ^40^2 + 57 = x.

Wierw zauważmy, że 57 > 40^2, gdyż 57 = ^51* = ^3249

Pcmadt ^{=    Stąd} I⁴⁰ V⁷ ~ ⁵⁷l = 57- 40./2.

+ 57 > 57 - 40^2, wobec tego

*<0 i X = yjsi - 40^2 - ^57 + 40.^2.

Po podniesieniu obu stron powyższej równości do kwadratu, otrzymujemy

x² = 57 - 40_v/2 - V57² - 3200 + 57 + 40^, stąd

x² = 114 - 2y/49, czyli x² = 100.

Na podstawie poprzednich uwag x = —10.

Uwaga. Zadanie można również rozwiązać zauważając, że 57 ± 40^2 = (4^2 ± 5)²

1.3. a) log₃30 > log₄ 60, b) Iog₃ 75 > log₂11,

c)    Iog₃4>log₇10,

d)    Ponieważ log₃ 4 > 1 i log₅ 3 < 1, więc

log₂ ¹⁰⁸ = ^Iog3 (²⁷'⁴) = ^loga 27 + log₃ 4 = 3 + log₃ 4 > 4 log₅ 375 = log_s 375 = log₅ (125 • 3) = log₅ 125 + log₅ 3 = = 3 + log₅ 3 < 4.

Zatem log₃108>log₅375.

53