6628926840

1 Geometria płaszczyzny

1.1 Wektory i skalary

W zbiorze liczb rzeczywistych K rozważamy działanie dodawania + i działanie mnożenia • o następujących własnościach:

(FI) Va,beR a + btżM.

(F2)    r a ■ b G K

(F3) Va,b,ceR (a + b) + c = a + (b + c)

(F4) 3o_gr V_aGR a + 0 = 0 + a = o (F5) V_aGR 3__aGR a + (—a) = (—a) + a = 0 (F6) V_a,bem a + b = b + a (F7)    V_O)i,_eR\{0} a ■ b e K \ {0}

(F8)    V_a,6,ceK (a • b) ■ c = a ■ {b • c)

(F9)    3_leK\{₀} V_aGR a • 1 = 1 • a = a

(F10) V_aGR\{₀} 3_a-i_€K\{₀} a ■ a^-1 = a^-1 • a = 1 (Fil)    V_a,6_G]r a - b = b ■ a

(F12) V_a,6,_cGR a - (b +c) = (a-b) + (a-c)

Definicja 1.1.1. Określmy zbiór wektorów R² jako zbiór uporządkowanych par liczb rzeczywistych, przy czym nazwą pierwszego (odpowiednio drugiego) elementu pary będzie nazwa wektora z dolnym indeksem 1 (odpowiednio 2), np. M² 3 v = (vi,V2).

Określamy dodawanie wektorów + i mnożenie wektora przez skalar • wzorami: V + W = (V\ + W\,V2 + W2)

a • v = (avi,av2)

dla u, w € R² i a € R.

Stwierdzenie 1.1.2. W zbiorze V = IR² dodawanie wektorów i mnożenie wektora przez skalar mają następujące własności:

(VI) Vtł,_wGy u + w € V

(V2)    V_vGy V_oGr a • v E V

(V3)    Vu,v,w£V (u + v) w = u + (v + w)

(V4)    3fl_Gy V_uGy V + 9 = 0 -\-v = v

(V5) V_vey 3__uGy v + (-u) = (-v) + v = 9

(V6)    V_v,wev v + w = w + v

(V7)    V_v,w€V V_aGr a • (v + w) = (a ■ v) + (a •    w)

(V8)    V_vGy V_a,6_GR (a + b) • v = (a ■ v) + (b ■ v)

(V9) V_vGy V_a,6_GR a - (b-v) = (ab) • v (V10) V_vGy 1 • V = V

Dowód: Własności (V1)-(V10) są konsekwencją zastosowania własności (F1)-(F12) do obu elementów pary.

2