0031

32

Liczby rzeczywiste

liczby s', to otrzymujemy przekrój w zbiorze liczb rzeczywistych. Ponieważ oczywiście w dolnej klasie nie ma liczby największej, a w górnej najmniejszej, więc zbiór ten określa liczbę niewymierną cr, która jest właśnie jedyną liczbą rzeczywistą, spełniającą nierówności s<a<s’. Tę właśnie liczbę trzeba przyjąć jako długość /(2').

Załóżmy teraz, że wszystkim odcinkom, tak współmiernym z E, jak niewspółmiernym, przypisano długości zgodnie ze wskazanymi regułami. Spełnienie warunków 1), 2) jest oczywiste. Rozważmy dwa odcinki P, E o długościach p=l(P), a=l(L) i ich sumę -odcinek T=P+E, którego długość oznaczamy przez r = l(T). Biorąc dowolne dodatnie liczby wymierne r, r', s, s' takie, że

r<p<r',    s<<7<s',

zbudujmy odcinki R, R\ S, S', dla których te właśnie liczby są odpowiednio długościami. Odcinek R+S (o długości r+s) jest mniejszy niż T, a odcinek R' + S' (o długości r'+j') jest większy niż T. Dlatego

r + s<r<r' + s’.

Ale [12] jedyną liczbą rzeczywistą, zawierającą się między liczbami postaci r+s (^J) a liczbami r'+s', jest suma p+.o. Wynika stąd, że x=p+o, o co chodziło.

Przeniesienia własności addytywności na przypadek dowolnej skończonej ilości składników dokonuje się metodą indukcji matematycznej.

-2.5 0 _ 1/2 4
0	-X-fr	X

Rys. 1

Jeżeli na osi (prostej skierowanej, rys. 1) obrać punkt początkowy O i odcinek jednostkowy OE, -to każdemu punktowi X tej prostej odpowiada pewna liczba rzeczywista — jego odcięta x, równa długości odcinka 0X, jeżeli X leży w dodatnim kierunku od O, bądź minus tej długości — w przypadku przeciwnym.

Powstaje naturalne pytanie, czy prawdziwa jest teza odwrotna: Czy każdemu punktowi prostej odpowiada liczba rzeczywista? Zagadnienie to rozwiązuje się w geometrii twierdząco przez wprowadzenie aksjomatu ciągłości prostej, ustalającego dla prostej jako zbioru punktów własność analogiczną do własności ciągłości zbioru liczb rzeczywistych [10].

Tak więc pomiędzy wszystkimi liczbami rzeczywistymi i punktami prostej skierowanej (osi) można ustalić odpowiedniość wzajemnie jednoznaczną. Liczby rzeczywiste można wyobrażać punktami na osi, którą w związku z tym nazywamy osią liczbową. Pojęcie to będzie nam stale potrzebne. ¹

1

Oczywiście dodatniość liczb r i s nie jest istotna.