3860644222

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Zapis \fż w zbiorze liczb zespolonych nie oznacza jednej liczby tylko zbiór rozwiązań. Przykłady:

dla liczb rzeczywistych	dla liczb zespolonych
v/9 = 3 \/T = i yj—2 nie istnieje	\/9 = {—3,3} </!= {1, z, —1, —ż} \/—2 i = { — 1 + i, 1 — i)

W zbiorze liczb zespolonych zapis \/9 = 3 nie ma sensu ponieważ zbiór \/9 = {—3,3} nie może równać się liczbie 3. To dwa różne pojęcia. Licząc pierwiastek zawsze należy jasno określić, czy wykonujemy działanie w zbiorze zespolonym czy tylko w rzeczywistym.

Liczba zespolona to jest pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby zespolonej z, gdy

Przykład:

i £ <yi, ponieważ i⁴ = i ■ i ■ i ■ i = i² ■ i² = — 1 - (—1) = 1

Dowolna liczba zespolona t ^ 0 ma n pierwiastków stopnia n.

sTz — {wo, Wl, • • • ,w_n-l}

Przykład:

V^T = {1, ż, —1, —*} (pierwiastek 4 stopnia więc 4 pierwiastki)

Dla liczby z o postaci trygonometrycznej |z|(cos<p + isinę?) mogę policzyć jej pierwiastki w-tego stopnia ze wzoru

Wfc

fe = V\A [ cos

<p + 2/c7t    ip + 2kir

--1- i sin —-

gdzie k = 0,1,..

Gdy znam dowolny pierwiastek <jJk, mogę łatwo policzyć kolejny uj^+i ze wzoru

( 2tt . 2tt\

Wfc₊i = uJk cos--h i sin —

\ n    n )

Zadania + Rozwiązania