099 2

Stabilność 99

2) jeśli pierwiastki były zespolone¹, to badane układy były stabilne wtedy i tylko wtedy, gdy części rzeczywiste wszystkich pierwiastków były ujemne. Spostrzeżenia te nie są incydentalne. Łatwo zauważyć, że postępując identycznie jak w przytoczonych przykładach można wykazać prawdziwość następującego twierdzenia:

Warunkiem wystarczającym i koniecznym stabilności (w sensie OW-00) układu liniowego o transmitancji (11.24) jest, aby Wszystkie pierwiastki wielomianu charakterystycznego były położone w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej.

Istnieje możliwość orzekania, czy układ liniowy jest stabilny bez konieczności obliczania wszystkich pierwiastków wielomianu charakterystycznego. Podstawy wnioskowania stanowią^ kryteria stabilności², czyli cechy układu, na podstawie których można rozstrzygnąć, czy układ jest stabilny (dokładniej: czy wszystkie pierwiastki wielomianu charakterystycznego są położone w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej). Do wnioskowania o stabilności układów' liniowych wykorzystywane są właściwości współczynników wielomianu charakterystycznego.

Kryterium Hurwitza

Przytoczymy, najbardziej znane, kryterium Hurwitza. Kryterium to dotyczy wielomianu:

(11.25)    żt(s) = a_rs" H-----f a₂s^z + a_ts + a_{)

o wszystkich współczynnikach a_t rzeczywistych, przy czym a_n > O. Kryterium to jest formułowa-ne jako zespół warunków, które muszą być spełnione, aby wszystkie pierwiastki miały ujemną część rzeczywistą. Warunki te są określane w odniesieniu do wyznacznika stopnia n zbudowanego w następujący sposób:

1

Pierwiastki zespolone wielomianu o współczynnikach rzeczywistych sa_ parami sprzężone.

2

W czasach, kiedy dokładne wyznaczanie pierwiastków wielomianów było trudnym zadaniem obliczeniowym, kryteria stabilności miały duże znaczenie praklyczne. Jednak i obecnie są często użyteczne.