239 2

239

6.8. Równania algebraiczne

I j|%gg świtanie algebraiczne ma pierwiastki zespolone, to nie jest już prawdą, że metoda cuerre’a zbieżna dla dowolnych przybliżeń początkowych. Doświadczenie uczy że i w tym przypadku zbieżność globalna jest dobra.

^ Zauważmy, że w przypadku współczynników rzeczywistych, wartości p(z,j, p'(z_t),... & rzeczywiste dla rzeczywistego z*. Oznacza to, że metoda Newtona i metoda siecznych ^nie    b>'ć zbieżne do pierwiastka zespolonego, gdy przybliżenie

początkowe jest rzeczywiste. Natomiast w metodzie Laguerrc*a r_k+ł może być zespolone nawet wtedy, gdy z_k jest rzeczywiste; wystarczy, żeby było H(z_k)< 0. Tak więc ta metoda może zacząć przeszukiwać płaszczyznę zespoloną „sama z siebie".

Przykład 6.8.1. Niech bedzie p(z)-=a₀2? + a_lzⁿ~^l +...+a„. Załóżmy, że a„^0 (co oie ogranicza ogólności, bo możemy zawsze odrzucić pierwiastek pojedynczy lub wielokrotny a--0). Przypuśćmy teraz, że co najmniej jeden ze współczynników a_H__l i <i„_₂ jest różny od zera i przyjmijmy w metodzie Lugucrrc’?., że r_o=0. Proste obliczenia prowadzą do wzoru

Z_x*=--*****-, gdzie H(r₀)«(łi-l)²tfJ_,-2iiln-I)tf_4ła_<l-₂.

H(z₀)

W szczególności, jeśli n=2, to M(z_c) jest wyróżnikiem wielomianu p(z), a z, jest jego pierwiastkiem o mniejszym module (jeśli znak w mianowniku wybiera się tak, jak wspomniano wcześniej). Jeśli wśród pierwiastków są liczby zespolone, to najmniejszy moduł mogą mieć dwa pierwiastki zespolone sprzężone i metoda wybiera któryś z nich. Na przykład równanie

p(z)=z³—2z² + z—2 = 0

ma pierwiastki +j i 2. Powyższy wzór na z, (dla n=3) daje wartość

3-2    2 A ,—

^zi^=a-v 11 i.

L±2V 11 < 15 15

Zauważmy, że także w tym przepadku mamy zbieżność do jednego z dwóch pierwiastków o mniejszym module, tj. do ±/.

6.8.2. Dehacja

Obliczanie wartości p(z) zgodnie z wzorem (6.8.2) opiera się na związku

. .    p(z)=(z-z_Jt)^₁(z)+6.,    ó_B = p(z_fc),

gdzie

gM^boZ*'¹ + 6_t z""²i-... +fc_B__l.

żc znaleźliśmy pierwiastek z*=a równania/?(z)=0. Wtedy b_m=0 i pozostałe pier-- tego równania są zarazem pierwiastkami równania ^(z)—0. Aby je obliczyć ^2citty zastąpić wielomian p(z) ilorazem g _z (z). Nazywa się to deflacją. Ten proces można