237 2

237

6.7. Pierwiastki wielokrotne

jeśli pierwiastek jest wielokrotny (tj. ma krotność q> I), to poprzednie wyniki dotyczące jdadnika zbieżności nie są słuszne. Na przykład metoda Newtona dla pierwiastków wielokrotnych jest zbieżna tylko liniowo i stała asymptotyczna błędu jest wtedy równa C= -fe— l)jq. Już dla q=2 zbieżność jest asymptotycznie taka sama, jak dla metody bisckcji! 2modvfikowana metoda iteracyjna

. . . /(*,)

(6.7.2)    *.₊ i “*. + «*.. «^d2le

ma znów zbieżność kwadratową; zakłada się tu jednak, że krotność q pierwiastka jest c priori znana. Zwykle tak nie jest, byłoby więc dobrze mieć takie metody iteracyjne, których wvkładnik zbieżności nic zależy cd q. W istocie łatwo je znaleźć. Przypuśćmy, źe /(*) ma ^-tą pochodną ciągłą w otoczeniu pierwiastka a o krotności q. Wtedy/^o>(a)=0 {j<q) i wzór Taylora daje równości

4'-

/'<*)■

(4

gdzie <, e int(x, a). Przyjmijmy, że u(x) =f(x),f (x). Mamy więc

u(x) I lim-=—

Wobec tego równanie w(^r)=0 ma pierwiastek pojedynczy a (zob. (6.7.1)) i można go wyznaczać wszystkimi już wprowadzonymi metodami. W szczególności metoda Newtona daje wzór

«(*•)

(6.7.3)

u‘(x„)

gdzie

«(*„) = 1“777-T “(**)-

/(*.)

a metoda siecznych — wzór (*•7.4)

*•-»(*«)

x_n-x„,_l

u(x„)-u(x_m.₁)

Zat ważmy jednak, tc w tej postaci metody są mniej efektywne, niż dla pierwiastków pojedynczych, gdyż wymagają obliczania więcej niż jednej pochodnej funkcji/

6.8. Równania algebraiczne

6.8.1. Wstęp

W tymi paragrafie zbadamy dokładniej ważne zadanie wyznaczania wszystkich pier-* asików równania algebraicznego danego w postaci

p(z)=fl₀z*+d_lz^B-J + ...+a,=0, a₀?tO.

^5dńtc z podstawowym twierdzeniem algebry równanie to ma dokładnie n pierwiastków •• -7 <*» i y^r)=a₀(z—e_Ł)'(z—aj)... {z— ot*). Jeśli współczynniki a_lt .... a„ ^rzeczywiste, to ewentualne pierwiastki zespolone występują w parach sprzężonych.