P3300292

Metoda Newtona może być zbieżna dla dowolnego punktu startowego.

Jeśli f e C²(l), jest rosnąca, wypukła i ma zero r, to jest ono jedyne a ■ ciąg (x_n) otrzymany metodą Newtona spełnia: \\m_n->oo x_n = r.

Z wypukłości monotoniczności f wynika odpowiednio, że Vx f"(x) > 0 i Vx f'(x) > 0. Zatem z (19) wynika, że e_n+1 > 0, czyli x_n > r dla n > 1. Z monotoniczności mamy więc f(x_n) > f(r) = 0. Stąd

^en+1 — */7+1 ~ ^r — ^en~

< e_n-

'(*>)■

Ciąg e_n jest więc malejący i ograniczony z dołu, a więc zbieżny. Istnieje zatem granica x* = limn_*oo x_n. Spełnia ona równanie

Y*    M

co implikuje równości f(x*) = 0 i x* = r.    □ i

METODY NUMERYCZNE

©Zbigniew Bartoszewski {Politechnika Gdańska)