Liczby zespolone

Liczby zespolone

Aby obliczyć sumę liczb zespolonych musimy wartość rzeczywistą liczby I dodać do wartości rzeczywistej liczby II i wartość urojoną I liczby do wartości urojonej II liczby (współczynnik znajdujący się przy i).

Mnożenie liczb zespolonych jest takie samo jak mnożenie liczb naturalnych, przy czym należy pamiętać że i²=-1.

Dzielenie zazwyczaj opiera się na rozszerzeniu ułamka przez sprzężenie mianownika tzn. dla a+bi sprzężeniem jest a-bi (np. gdy w mianowniku mamy 4-3i to rozszerzamy ułamek przez 4+3i).

Do przedstwaienia liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej musimy obliczyć

moduł liczby zespolonej (|z| = Ja² + b²), oraz kąt ę, dla którego cos<p=sin<p (sin<p =    ,

cos ę =

Wzór de Moivre’a:

zⁿ = [|z|(cos<p + z'sin<p)]" = |z|”(cos(«<p) + żsin(n<p)) Pierwiastek z liczby zespolonej # = ^jz[ (cosi/z + żsinip),

gdzie: y = przyczym k = 01 Wzór na pierwiastki równania kwadratowego.

Dla az² + bz + c = 0 pierwiastki wynoszą:

-    _ -b+ó

*² ~ —-

gdzie 5 jest jednym z pierwiastków kwadratowych liczby zespolonej & = b² - 4ac

(5 = - JA lub 5 = +JA).