55 (311)

¹¹⁸    Całki funkcji zespolonych

równy argumentowi liczby z'(<₀) (z dokładnością do ir). Ponieważ z'(t) = - sin t + 3»cos l, więc

# /. \    .2    2    v/3    3 .

z (to) = — sin-jt + 3icos-ir =----1.

Zatem szukany kąt jest równy

^arCt6 ~~^3 ^{= arCt8} ^ ⁼ J’

• Przykład 5.4

	wm
. Hfcri UlPiUU ttfiŁaUTi'«	BSKwftl	Ihh

Określić punkt i kąt przecięcia się krzywych o równaniach parametrycznych

1

<2

z(t) = jz + gdzie t G /Z, oraz tt>(() = ł² + gdzie t G ił.

Rozwiązanie

Ponieważ parametr t zmienia się wzdłuż obu krzywych niezależnie, więc dla wyznaczenia ich punktu przecięcia musimy parametr jednej z nich nazwać inaczej. Niech więc

z(t)=~ + ti, w(t) = s² + js», gdzie t,s £ R.

W punkcie przecięcia się krzywych mamy

1 ₂ 1 .

— -f U = 8 H--St.

Równanie to jest równoważne układowi równań

1_2 _t2 ~^s ’

1

^ł 4⁵'

Rozwiązaniami tego układu są pary

{'    2 oraz <

sx=2    [

3 2

1 .

Zatem krzywe przecinają się w punktach zi = z(ti) = ui(si) = 4 + oraz zj =

1 2 1

z (h) = w (sj) = 4 - -i. Ponieważ z'(ł) =    + i, w‘ (a) = 2a + -i więc dla pierwszego

rozwiązania mamy z' = —16 + i, w'(2) = 4 + -i. Stąd

1

arg z’ (i) = arctg    oraz argtu'(2) = arctg-4- = arctg—.

Piąty tydzień - zadania

Miara lukowa obliczonych kątów jest taka sama lecz są one skierowane przeciwni' kąt między podanymi krzywymi w punkcie Z\ jest równy

. 1 a = 2 arctg —.

⁶ 16

Dla punktu z₂ możemy wykonać analogiczne obliczenia, ale prościej jest zauważyć krzywe są symetryczne względem osi Re z, przy czym odbicie symetryczne tych k otrzymujemy przy zmianie parametrów t ——► — i oraz s—> — s. Punkt z i pr wtedy na z₂, a ponieważ symetria zachowuje miarę kątów, więc kąt między k jest w obu punktach taki sam.

• Przykład 5:5

Obliczyć podane całki:

~"dt.

i) J (i² + i sin t) dt\ b) Je "

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru

p    p    p

j [«<<) + ..w] « = x(t) dt + i I v(t)dt.

a) Mamy

f

J (t² + > sin t) dt = J t² dt + i J sin t dt = ^-t³

b) Mamy

n    ir

S’'"^dt=/'

n    ir

= J cos tdt + i/(-

(cos t — i sin t) dt = / cos tdt + i / (— sin <) dt = sin 1    + »cos(|

Uwaga. Całkę tę można też obliczyć następująco:

»r

J _e~'‘dt= — j_e-^i,|' = . (e-^i,r-e⁰) = —2«.

Zadania

O Zadanie 5.1

Napisać równania parametryczne podanych krzywych: