58

¹²⁴    Całki funkcji zespolonych ) Mamy

J — = [l°g -z] ^ = log(rti) - log# = ln R +    - ln R =

Jwaga. Całkę powyższą można było obliczyć w podany sposób, ponieważ w pewnym bszarze zawierającym krzywą C funkcja podcałkowa /(z) = - ma funkcję pierwotną

(z) — log z. Zauważmy jednak, że w tym przypadku nie można wziąć dowolnej krzywej C o początku R i końcu Ri. Świadczy o tym przykład krzywej danej równaniem

arametrycznym z(<) = Re~", gdzie t £ [o, ^x , mamy bowiem

[ dz    3

I — = — -XI.

J z    2

c

atem całka zależy od drogi całkowania.

.orzystając ze wzoru całkowego Cauchy’ego lub jego uogólnienia obliczyć podane alki:

⁾ /z²(z + 2«) , gdzie C jest okręgiem |z + 2i| = 1 zorientowanym dodatnio;

f^S'ⁿ (£*)

) I ' _zi _ -y dz, gdzie C jest okręgiem \z — 1| = 1 zorientowanym dodatnio;

c

ze

(z²+ 4)

2 dz, gdzie C jest okręgiem |z + 2tj = 2 zorientowanym dodatnio;

/cos z

—--3 dz, gdzie C jest okręgiem |z — 3| = 1 zorientowanym dodatnio.

Z \ Z — 7T J

Dzwiązame

rozwiązaniach dwóch pierwszych przykładów wykorzystamy wzór całkowy Cauchy’ego

2xif (z₀),

f n*)**

J Z - z₀

w rozwiązaniach dwóch pozostałych jego uogólnienie

I _ f{z)dz _ 2!•,(„), X

J (z-zo)ⁿ⁺¹ ~ n! ’    ^(Zo)*

c

zie f(z) jest funkcja holomorficzną w obszarze jednospójnym D, a O kawałkami gładką, datnio zorientowaną krzywą Jordana leżącą w obszarze D i zawierającą punkt zo w ym wnętrzu.

Szósty tydzień - przykłady

125

a) Punkt zo = —2i leży wewnątrz okręgu C. Zapiszmy więc obliczaną całkę w postaci

/

dz

*²(z + 2.)

/

_

z -f 2i

Funkcja /(z) = -i- jest holomorficzna w pewnym

obszarze jednospójnym D zawierającym krzywą C (zobacz rysunek). Zatem wobec wzoru Cauchy’ego mamy

/

_z±_

z + 2i

= 2xi

-21

b) Punkt zo = 1 leży wewnątrz okręgu C. Tak więc, zapiszmy obliczaną całkę w postaci

c    C

i

Funkcja /(z) = -——— jest holomorficzna w

r ł* 1    ,

pewnym obszarze jednospójnym D zawierającym krzywą C (zobacz rysunek) Zatem wobec wzoru Cauchy’ego mamy

^sin (f*)

/    * ^{+ 1}-- dz = 2Ki

J

c

c) Punkt zo = —2i leży wewnątrz okręgu C. Zapiszmy zatem obliczaną całkę w postaci

/ ^Ze"^Z jdz

J (*² + 4)²

/

(z + 2«)^J (z - 2i)²

/

(^z - ²») (z + 2i)^J

Funkcja /(z)- =

ze’

jest holomorficzna w

(z — 2i)²

pewnym obszarze jednospójnym D zawierającym krzywą C (zobacz rysunek). Ponadto