59 (272)

126    Całki funkcji zespolonych

_N (e" + zk'¹) (z - 2«')² - ze*'2(z - 2«) (z — 2i)⁴

e*¹ (tz² — z — 2xiz — 2t) (*-2 O³

skąd f'( — 2i) = — r-r. Zatem wobec uogólnienia wzoru Cauchy’ego dla n = 1 mamy

Ol

/ (z - 2:)²    27Tt ,    2jri / r\ *²

J U+W ‘TT⁷( 0 = "if “‘T-

d) Punkt zo = z- leży wewnątrz okręgu C. Zapiszmy zatem obliczaną całkę w postaci

cos z

f ^cosz dz- [ ^z J z (z - ir)³ J (z - 7r)‘

c    c

Funkcja /(z) = -jest holomorficzna w pewnym

obszarze jednospójnym £> zawierającym krzywą C (zobacz rysunek). Ponadto

z sin z + cos z

dz.

/'(*) = --/"(*) = -

z² cos z — 2z sin z — 2 cos z

ir² - 2

Stąd /"(*) = —^—. Zatem wobec uogólnienia wzoru Cauchy’ego dla n = 2 mamy

cos z

Obliczyć całkę

/

(z²+l)²

O

a)    o promieniu r < 2 i środku w punkcie i;

b)    o promieniu r < 2 i środku w punkcie —i;

c)    o promieniu r > 2 i środku w punkcie i lub — i

, gdzie C jest dodatnio zorientowanym okręgiem:

Rozwiązanie

W dwóch pierwszych przykładach wykorzystamy uogólniony wzór całkowy Cauchy’ego (zobacz Przykład 6.3). Najpierw jednak zauważmy że

(z² + l)² = (z + »)²(z “ *)²-

Szósty tydzień- przykłady

127

a) W tym przypadku przyjmujemy zo = i, bo ten punkt leży wewnątrz okręgu C. Wtedy funk-

cja /(z) = -—5-—j jest holomorficzna w pewnym

\^z + 0

obszarze jednospójnym D zawierającym krzywą C (zobacz rysunek). Ponadto

/'(*) = "

(Z + .‘)3

skąd f'(i) = — Wykorzystując uogólniony wzór całkowy Cauche’ego dla n = 1 mamy

b) Przyjmujemy zo = — i, bo teraz ten punkt leży wewnątrz okręgu C (zobacz rysunek). Wtedy

funkcja f(z) =    jest holomorficzna w

(z — i)²

pewnym obszarze jednospójnym D zawierającym krzywą C. Mamy też

/'W = -

(z-,)³’

skąd /'(i) = Wykorzystując uogólniony wzór całkowy Cauche’ego dla n = 1 otrzymujemy

/    «*«■■= /    dz = ₂T,/'(-•) = 2*4 = -f

J (z’ + l)² J (* + «)^{2    4    2}

c) W tym przypadku oba punkty « oraz —i leżą węwnątrz okręgu C. Niech zatem Cj oraz C2 będą dodatnio zorientowanymi okręgami o środkach odpowiednio i oraz —i i promieniach tak małych, by okręgi te leżały wewnątrz C i miały rozłączne wnętrza (zobacz rysunek). Wtedy

St^w-S^S

C    Cl    Cl

dz

(*² + ir

(zobacz Wniosek 3.5.6). Korzystając z poprzednich wyników tego przykładu mamy

f dz _ k    f

J (z² + l)² "2’ J

Ci    Ci

dz

(*² + l)²