154

306 XVI. Całki funkcji wymiernych

Rozwiązanie. Zakładamy, że ax + bjtO. Wykonujemy podstawienie ax+b = t _D

1

niczkując otrzymujemy a dx = dt, skąd dx=-dt. Podstawiamy te wartości całki (IV

a    ^v >'

i*

f---i f——i-ln|t|+C.—ln|ojt + (>|+C.

j ax + b j t a J t a    a

Zadanie 16.2. Obliczyć całkę j(ax + b)" dx, {a=£0).

Rozwiązanie. Dla n— — 1 całka powyższa została obliczona w zadaniu poprzednim Załóżmy więc, że «# — 1. Jeżeli n jest liczbą całkowitą ujemną, to zakładamy ponadto że ax + b¥= 0, a jeżeli n nie jest liczbą całkowitą, to zakładamy, że ax + b>0. Wykonujemy

podstawienie ax + b = t, skąd adx-dt, czyli dx=- dt. Obliczamy

a

r    „ f, 1    1 f „    1    i^n+I    (a.T + b)"⁺¹

I (ax + b) dx= t ■—dt=—    t dt = —•--t-C=--I-C.

J    J a a J a n + 1 ti(/i + l)

Zadanie 16.3. Obliczyć całkę

cx+d ax + b

1

Rozwiązanie. Zakładamy, że ax + b^0. Zgodnie z uwagą ogólną, jaką zrobiliśmy na początku tego rozdziału, dzielimy licznik przez mianownik

d-t

cx + d    c a

ax + b    a ax + b

dx

a więc

cx + d ax + b

^dx~ii'^tx+{^dJf)

ax + b a

c ad-bc , ,    ,,    „

= —x-\--5— \r)\ax + b\+C.

a

W dalszym ciągu zajmiemy się całkami typu

mx + n

(16.2.1)

I

ax +bx + c

dx (a#0).

Przede wszystkim sprawdzamy, czy licznik nie jest pochodną mianownika. Wówczas bowiem wynik otrzymujemy natychmiast posługując się wzorem

(16.2.2)

l₊c.

Zadanie 16.4. Przyśpieszenie w danym ruchu prostoliniowym wyraża się wzore®

a = 4t 4--

1

t + 1

aaczyć wzór określający prędkość v w zależności od czasu t, jeżeli wiadomo, że dla ^0 jest v=v₀; wyznaczyć również wzór określający drogę x, jeżeli dla t = 0 jest x=x₀. ¹ Rozwiązanie. Mamy

v=    adt =    ^4t³ +    d< = t⁴+ln|i + l| + C ;

podstawiając / = 0 otrzymujemy v₀ = C, a więc

t> = r⁴+ln|t + l| +r₀.

Dalej,

x= jvdt= J(f⁴+ln|t +1|+Dq)^t⁵+(t +1)ln|t +11 — t+ i^o t+Cj. pla / = 0 mamy Ar = x₀ = C_l5 a więc

+ (/ + l)ln|t + 11 + f {v₀ — 1) +Xq ■

Zadanie 16.5. Obliczyć całkę

/ =

6*— 1

—~-dx.

3x² —x+2

Rozwiązanie. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego znajdującego się w mianowniku funkcji podcałkowej: d = 1 - 24<0. Z tego wniosek, że mianownik nie staje się zerem przy żadnej wartości x.

Zauważmy że (3a:²-a:+2)' = 6x-1, tzn. że licznik jest pochodną mianownika. Otrzymujemy /=ln(3x² — jc+2) + C.

Zadanie 16.6. Obliczyć całkę

dx.

r_ f *^-3

J x² — 6x+5

Rozwiązanie. Obliczamy wyróżnik trójmianu znajdującego się w mianowniku: 4 = 36-20=4². Mianownik ma pierwiastki *i = l, x₂ = 5. Zakładamy xj^\ \ x^5. Zauważmy, że (a:²-6x+5)'=2x—6=2(x-3), tzn. że pochodna mianownika jest proporcjonalna do licznika. Otrzymujemy

■    -lj^^r_s^ix=i^,n\’ⁱ‘-^6x+5\^+c-

Jeżeli licznik nie jest pochodną mianownika (ani nie jest do niej proporcjonalny), sposób obliczania takich całek zależy od znaku wyróżnika A =b²—Aac trójmianu • "adratowego występującego w mianowniku funkcji podcałkowej. Rozpatrzymy przy-^Padki: A>0 (zad. 16.7-16.8), A=0 (zad. 16.9 i 16.10) oraz A<0 (zad. 16.11-16.14).

Zadanie 16.7. Obliczyć całkę

dx

2x² +9* —5