150 2

298 XV. Całki nieoznaczone — Metody podstawowe

Rozwiązanie. Zakładamy, że jt>0. Przedstawiamy pierwiastki w postaci o wykładnikach ułamkowych(‘)

Wykonując mnożenia x _s/x=x- x^l12 = x³¹², x■ x² \jx = x- x²- x^ll3 = x^l0li, otrzymujem--

-J

x^3l2-x¹⁰¹³

dx.

Stosując regułę całkowania (15.3.1) otrzymujemy

,3/2    f „10/3

/- J ^X~dx-    |    J| x>»dx-

*^3vndx.

Na podstawie wzoru (15.2.1) otrzymujemy

/ = -

^9/4    ^49/12

4 „9/4    12 „49/12

49    49"    +C = ¹X²¹/x-£x^1ltJx + C .

Zadanie 15.7. Obliczyć całkę

/

-J

dx .

Rozwiązanie. Zakładamy, że .v>0. Postępując podobnie jak w poprzednim zadaniu otrzymujemy

'l—^dX=,

(xⁱ~²-xⁱ~²)dx=

-¹dx

-I

: ¹ dx.

Na podstawie wzoru (15.2.1) mamy

x~¹

¹ .1 _|^+C 2x ¹⁺l^{x 1+C}-₂y? Jx^+C-

Zadanie 15.8. Obliczyć całkę

I

■Ji

xdx

a^O.

(.x²+a²)ⁿ ’

Rozwiązanie. Ponieważ licznik różni się tylko czynnikiem stałym od różniczki wy rażenia x² + a², więc stosujemy podstawienie x² + a² = u, przy czym u> 0. Różniczkowym-daje xdx=\du. Jeżeli 1, to mamy

1 f du 1 f ,    1    u""⁺¹    -1

I — ~ I ——=— I u du = - ■--|-C=--—-—j+C.

2J u" 2J    2 —n +1    2(n — l)u ¹

I

—_t+C, gdzie 0, n^l-

Powracamy do zmiennej x i ostatecznie otrzymujemy xdx    —1

(x²+a²)ⁿ 2(n — l)(x² +a²)'

>v przyp^adku s^dy ^n=l’ ^mamy

C x dx ,    ,    ,

J= hn= ^lnJtJ+o²)+c.

J ;T + a

Zadanie 15.9. Obliczyć całkę

/- f 7== •

J \J2x—3

Rozwiązanie. Zakładamy, że x>|. Wykonujemy zamianę zmiennychV2x-3 = t. _$iąd 2x-3 = /², dx=t dt, przy czym />0.

Podstawiając powyższe wartości do całki otrzymujemy

dt = t + C=\jlx-3 + C.

Zadanie 15.10. Obliczyć całkę J x⁷\! 2x^-3 dx Rozwiązanie. Zakładamy, że    Wykonujemy podstawienie

V2x³ —3 = t, czyli 2x³-3 — t²,

skąd różniczkując otrzymujemy

czyli x²dx-itdt.

6x² dx=2tdt,

Zatem

Jx²V2x³-3 dx=J V2x³-3 • x²dx= J / -±tdt=

=|J<²d£=i4t³ + C^|(>/2x³-3)³+C.

Zadanie 15.11. Obliczyć całkę j cix.

Rozwiązanie. Wykonujemy podstawienie x² = t, skąd różniczkując obie strony otrzymujemy 2xdx=dt, xdx=^dt, a więc

J xe^x*dx=$ e*¹ • xdx=$ e* -±dt=j$ e* dt=\e^f+C=\e*² +C.

Zadanie 15.12. Obliczyć całkę sin x cos x d*.

Rozwiązanie. Zadanie rozwiążemy trzema sposobami.

Sposób I. Wykonujemy podstawienie sin x=t. Różniczkowanie daje cos xdx=dt. Pikujemy

J sin x cos x dx=J t dt=\t² + C=j sin² x+C.

Sposób II, Korzystamy ze wzoru sin x cos x=i sin2x. Mamy J sin x cos x dx=§ J sin 2x dx.

³² "wykonujemy podstawienie 2x=u, skąd dx~i du. A więc

J ^sm x cos xdx—^ J sin u • jdu = ~ J sin u du — — £ cos u+C,^ — — | cos 2x + C_t.

1

Na podstawie wzoru '/a^m — (Va)^m = a^mj", gdzie a> 0.