153 2

304 XV. Całki nieoznaczone — Metody podstawowe

15.62.

15.64.

15.66.

15.68.

15.70.

15.72.

15.74.

15.76.

15.78.

15.80.

15.82.

■V^2 clx	15.63.	dx
J Vi-*^6		(1 +x^2) arctg x
/* (ti — arcsin x) dx J Vl-x^2	15.65.	x dx ■x^4 + f
J x^4(l +x)^3 dx.	15.67. J x^2 e* dx.
$ x^3e^xdx.	15.69. f x^4e^2xdx.
J x cos x dx.	15.71. J x^2 cos x dx.
J x^2 sin 5x dx.	15.73. J e^x cos x dx.
J e~^2x sin 3x dx.	15.75. J e^x cos §* dx.
J sjx ln x dx.	15.77. J (ln |jr|)^3t/x.
f« fdx. X	15.79. «	^jr(ln|x|)^3 dx.
	15.81.	f(^lnx)^2—=— dx. V*
J jc^3(lnx)^2dx.	15.83. J	x^n\nxdx, n#-

CAŁKI FUNKCJI WYMIERNYCH

§ J6.1- UW AGI OGÓLNE

Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci

f    - f ^an^ + an-iXⁿ'^ljr...+a_lx + a₀

(16.1.1) J ^₂(_x) J b_mx^m + b_m^_lx^m~^l + ...+b_lx + b₀

Można wykazać, że całka funkcji wymiernej jest zawsze równa pewnej kombinacji liniowej (por. notkę na str. 149) następujących funkcji: funkcji wymiernej, logarytmu funkcji liniowej, logarytmu funkcji kwadratowej (o wyróżniku ujemnym) oraz arcus-tangensa funkcji liniowej. Przy obliczaniu całki (16.1.1) należy postępować w następujący sposób:

1° Jeżeli n^m, to licznik dzielimy przez mianownik i funkcję podcałkową przedstawiamy jako sumę wielomianu oraz funkcji wymiernej, w której już stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika (n<m).

2° Jeżeli n <m, to funkcję podcałkową rozkładamy na tzw. ułamki proste, tj. na wytężenia postaci

A    Bx + C

-:    oraz    —=-- >

(ax + b)^k    (cx² +dx + e)^p

^^z'^e A, B, C, a, b, c, d, e są stałe, przy czym d² — 4ce<0 (wyróżnik trójmianu cx² +dx + e ^{Jest u}J^ernny), a k i p są liczbami naturalnymi.

Sposób rozkładania funkcji wymiernej na ułamki proste oraz obliczenia całek ułamków P^r°stych zostanie przedstawiony w podanych niżej zadaniach.

§ 16.2. METODY CAŁKOWANIA

Udanie 16.1 Obliczyć całkę

(1)

I

(a#0).