151

300 XV. Całki nieoznaczone — Metody podstawowe I

Sposób III. Wykonujemy podstawienie cos x = t; różniczkując otrzymujemy - $i_n x = dt. Całkujemy

J sin x cos x dx= — J t dt = — ^l² +C₂= —3 cos² x+C₂ ■

Otrzymaliśmy trzy różne wyniki: ^sin²*, -icos2x, -^cos²*. Nie będzie w _h. sprzeczności, gdy okażemy, że różnica każdych dwóch wyników jest stała. Mamy ^

i sin² x — ( — j cos 2jf) = | sin² x+j cos 2x = |(2 sin² jr + cos 2x) =

= i(2 sin² x + l — 2 sin² x)=^ ,

więc C=C,+i. Podobnie,

\ sin² x-(-1 cos² x)=j (sin² x+cos² x)=3,

więc C=C₂+i-

Zadanie 15.13. Obliczyć całkę

ln x

dx.

Rozwiązanie. Zakładamy, że *>0. Wykonujemy podstawienie 1 nx=t i różniczkujemy -dx=dt. Mamy więc

ln x

dx =

t ć/f=jt² + C=~ (ln x)² + C .

I

Zadanie 15.14. Obliczyć całkę

x dx

Vi-*⁴

Rozwiązanie. Zakładamy, że — loccl. Wykonujemy podstawienie x²=t, skąd 2xdx=dt, czyli x dx=\ dt. Zauważmy, że 0</< 1. Otrzymujemy

C x dx    C    jdt , f    dt ,    ,    ,

=    ,-------= \ -== = iarcsin t + C=iarcsin(^ )+C.

J Vi-*⁴    J ²J ^2    2

Zadanie 15.15. Obliczyć całkę j xe^x dx.

Rozwiązanie. Całkujemy przez części przyjmując

u=x,dv=e^xdx, skąd du-dx, v-{e^xdx=e^x.

Całkę daną możemy napisać w postaci j x de^x; w myśl wzoru (15.3.3) na całkowanie P^rzeZ części mamy

j x de^x=xe^x— J e^x dx-xe^x — e^x+ C = e^x(x-1) + C.

Zadanie 15.16. Obliczyć całkę Jx sin x dx.

Rozwiązanie. Całkujemy przez części przyjmując

u — x, dv = s\n x dx, skąd du = dx, v = J sin x dx= — cos x.

Otrzymuje

| sin xdx= -xcos ac—J (-cos ac) c/ac= - a: cos ac + J cos xdx=—x cos x+sin ac + C. ZadaME 15.17. Obliczyć całkę J e*ś\nxdx.

Rozwiązanie. Całkujemy przez części przyjmując

u=sinjr, dv = e^xdx,    skąd du = cosxdx, u=J e^xdx = e^x.

Otrzymujemy

J e^x sin x dx=e^x sin x— j e^x cos x dx.

podobnie całkując przez części całkę po prawej stronie ostatniej równości otrzymujemy j e^x cos x dx = e^x cos x + j e^x sin x dx .

Podstawiając otrzymaną wartość do poprzedniej równości otrzymujemy j e^x sin x dx = e^x sin x — e^x cos x— J e^x sin x dx , skąd po przeniesieniu całki na lewą stronę równości mamy

2 J e^x sin x dx = e^x(sin jc-cos x).

Ostatecznie więc

| e^x sin x djc = j e^x(sin x—cos x) +C.

Zadanie 15.18. Obliczyć całkę J ln xdx.

Rozwiązanie. Zakładamy, że x>0. Całkujemy przez części przyjmując

u = lnjc, dv = dx, skąd    du=—dx, v=\dx=x.

Obliczamy

ln x dx = x ln x —

x--dx = x ln x

x

=x\nx-x + C = x(\nx-\) + C.

Zadanie 15.19. Obliczyć całkę J jc¹⁰ ln jc dx.

Rozwiązanie. Zakładamy, że *>0. Całkujemy przez części przyjmując

Otr;

u = ln x, dv = x'° dx, skąd du=—dx, n=Jx¹⁰ dx=-^x^li.

^zymujemy

x¹⁰ ln x

dx—-fi X¹¹ ln jc — j ^jJC^U •— dx = -^ x¹¹ ln ac — TT J

jc¹⁰ dx =

= U^{X In}*-Ti-Ti*'^l+C = ±x^ll(.lnx—±_X) + C.